Comment analyser un test de… : En modélisant avec M (malade) et T^+… — maths complémentaires | MetMat

Comment analyser un test de dépistage (sensibilité, spécificité, valeurs prédictives) ?

En modélisant avec $M$ (malade) et $T^+$ (test positif), en calculant $\mathrm{VPP} = P_{T^+}(M) = \dfrac{\mathrm{Se} \times p}{\mathrm{Se} \times p + (1-\mathrm{Sp})(1-p)}$ et $\mathrm{VPN}$ par Bayes, en faisant varier la prévalence $p$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un test de dépistage du VIH a une sensibilité $\mathrm{Se} = 0{,}99$ et une spécificité $\mathrm{Sp} = 0{,}998$ . La prévalence dans une population générale est $p = 0{,}001$ . Calculer la VPP et la VPN. Commenter.

La méthode

1
Définir les événements $M$ (être malade) et $T^+$ (test positif), et lire les données : prévalence $p = P(M)$ , sensibilité $\mathrm{Se} = P_M(T^+)$ , spécificité $\mathrm{Sp} = P_{\bar{M}}(T^-)$ soit taux de faux positifs $1 - \mathrm{Sp} = P_{\bar{M}}(T^+)$ .
2
Calculer $P(T^+)$ par la formule des probabilités totales : $P(T^+) = \mathrm{Se} \times p + (1 - \mathrm{Sp}) \times (1 - p)$ .
Comment appliquer la formule des probabilités totales ?Voir
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Calculer la VPP par Bayes : $\mathrm{VPP} = P_{T^+}(M) = \dfrac{\mathrm{Se} \times p}{P(T^+)}$ . Calculer la VPN : $\mathrm{VPN} = P_{T^-}(\bar{M}) = \dfrac{\mathrm{Sp} \times (1-p)}{P(T^-)}$ où $P(T^-) = 1 - P(T^+)$ .
Comment inverser un conditionnement avec la formule de Bayes ?Voir
4
Interpréter : la VPP est la probabilité d'être réellement malade si le test est positif ; la VPN est la probabilité d'être sain si le test est négatif. Analyser l'effet d'une variation de la prévalence $p$ sur ces valeurs.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

$p = 0{,}001$ , $\mathrm{Se} = 0{,}99$ , taux de faux positifs $= 1 - 0{,}998 = 0{,}002$ .

$P(T^+) = 0{,}99 \times 0{,}001 + 0{,}002 \times 0{,}999 = 0{,}00099 + 0{,}001998 = 0{,}002988$ .

$\mathrm{VPP} = \dfrac{0{,}99 \times 0{,}001}{0{,}002988} \approx \dfrac{0{,}00099}{0{,}002988} \approx 0{,}331$ . $P(T^-) = 1 - 0{,}002988 = 0{,}997012$ . $\mathrm{VPN} = \dfrac{0{,}998 \times 0{,}999}{0{,}997012} \approx \dfrac{0{,}997002}{0{,}997012} \approx 0{,}99999$ .

Dans une population peu touchée ( $p = 0{,}1\,\%$ ), même avec un excellent test, seulement 33 % des positifs sont réellement malades. La VPN est quasi certaine : un négatif est presque sûrement sain. Cela justifie un test de confirmation après un test positif.

$\mathrm{VPP} \approx 33{,}1\,\%$ et $\mathrm{VPN} \approx 99{,}999\,\%$ . La faible prévalence dégrade fortement la VPP.

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