Comment multiplier ou diviser des nombres complexes en forme exponentielle ?

En multipliant les modules et en ajoutant les arguments : $r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ , ou en divisant : $\frac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\theta_1-\theta_2)}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $(1+i)(\sqrt{3}+i)$ .

La méthode

1
Écrire chaque facteur sous forme exponentielle $r_k e^{i\theta_k}$ (convertir si nécessaire depuis la forme algébrique).
Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?Voir
2
Multiplier les modules entre eux et additionner (ou soustraire pour un quotient) les arguments, puis simplifier le résultat.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer $(1+i)(\sqrt{3}+i)$ .

1

$1+i = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ et $\sqrt{3}+i = 2e^{i\pi/6}$ .

2

Produit : module $= \sqrt{2} \times 2 = 2\sqrt{2}$ , argument $= \pi/4 + \pi/6 = 5\pi/12$ . D'où $(1+i)(\sqrt{3}+i) = 2\sqrt{2}\,e^{i5\pi/12}$ .

$2\sqrt{2}\,e^{i5\pi/12}$

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