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Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?

En calculant r=∣z∣r = |z| puis θ\theta tel que cos⁡θ=x/r\cos\theta = x/r et sin⁡θ=y/r\sin\theta = y/r, et en écrivant z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}

L'objectif

Écrire un nombre complexe donné sous forme algébrique en forme trigonométrique r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta) et exponentielle reiθre^{i\theta}.

Le principe

Tout nombre complexe non nul z=x+iyz = x+iy s'écrit z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz = r(\cos\theta+i\sin\theta) = re^{i\theta} où r=∣z∣>0r = |z| > 0 et θ\theta est un argument de zz.

La méthode
  1. 1
    Calculer le module r=∣z∣=x2+y2r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}.
    Voir
  2. 2
    Déterminer θ\theta vérifiant cos⁡θ=x/r\cos\theta = x/r et sin⁡θ=y/r\sin\theta = y/r (identifier le quadrant par le signe de xx et yy).
    Voir
  3. 3
    Conclure : z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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