Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ? | MetMat

Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?

En calculant $r = |z|$ puis $\theta$ tel que $\cos\theta = x/r$ et $\sin\theta = y/r$ , et en écrivant $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$

Écrire un nombre complexe donné sous forme algébrique en forme trigonométrique $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et exponentielle $re^{i\theta}$ .

L'objectif

Écrire un nombre complexe donné sous forme algébrique en forme trigonométrique $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ et exponentielle $re^{i\theta}$ .

Le principe

Tout nombre complexe non nul $z = x+iy$ s'écrit $z = r(\cos\theta+i\sin\theta) = re^{i\theta}$ où $r = |z| > 0$ et $\theta$ est un argument de $z$ .

La méthode

1
Calculer le module $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
2
Déterminer $\theta$ vérifiant $\cos\theta = x/r$ et $\sin\theta = y/r$ (identifier le quadrant par le signe de $x$ et $y$ ).
Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?Voir
3
Conclure : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

Écrire $z = 1 + i$ sous forme exponentielle.

Étape 1 —

Calculer le module

r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}

$r = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ .

Étape 2 —

Déterminer

\theta

vérifiant

\cos\theta = x/r

\sin\theta = y/r

(identifier le quadrant par le signe de

x

y

$\cos\theta = 1/\sqrt{2}$ et $\sin\theta = 1/\sqrt{2}$ , donc $\theta = \pi/4$ .

Étape 3 —

Conclure :

z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}

$z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ .

$\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$

Application guidée

Écrire $z = -1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle.

Application autonome 1

Écrire $z = -2\sqrt{3} - 2i$ sous forme exponentielle.

Application autonome 2

Écrire $z = 5i$ sous forme exponentielle.

Application autonome 3

Écrire $z = \sqrt{6} - i\sqrt{2}$ sous forme exponentielle.

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