Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?

En calculant $r = |z|$ puis $\theta$ tel que $\cos\theta = x/r$ et $\sin\theta = y/r$ , et en écrivant $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire $z = 1 + i$ sous forme exponentielle.

La méthode

1
Calculer le module $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ .
Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?Voir
2
Déterminer $\theta$ vérifiant $\cos\theta = x/r$ et $\sin\theta = y/r$ (identifier le quadrant par le signe de $x$ et $y$ ).
Comment déterminer un argument d'un nombre complexe ?Voir
3
Conclure : $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Écrire $z = 1 + i$ sous forme exponentielle.

1

$r = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$ .

2

$\cos\theta = 1/\sqrt{2}$ et $\sin\theta = 1/\sqrt{2}$ , donc $\theta = \pi/4$ .

3

$z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$ .

$\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$

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Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle ?

En calculant r=∣z∣r = |z|r=∣z∣ puis θ\thetaθ tel que cos⁡θ=x/r\cos\theta = x/rcosθ=x/r et sin⁡θ=y/r\sin\theta = y/rsinθ=y/r, et en écrivant z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=reiθz = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}z=r(cosθ+isinθ)=reiθ

Pour comprendre, passons aux exercices.

En calculant $r = |z|$ puis $\theta$ tel que $\cos\theta = x/r$ et $\sin\theta = y/r$ , et en écrivant $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$