En calculant $P(B_i|A)$ par le rapport $P(A|B_i)P(B_i) / P(A)$ , $P(A)$ obtenu par probabilités totales

Calculer $P(B_i|A)$ — la probabilité qu'une hypothèse $B_i$ soit vraie sachant l'observation $A$ — à l'aide de la formule de Bayes.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un individu tiré au hasard dans une population de prévalence $10^{-4}$ est testé positif (sensibilité $0{,}99$ , spécificité $0{,}999$ ). Quelle est la probabilité qu'il soit effectivement malade ?

L'objectif

Calculer $P(B_i|A)$ — la probabilité qu'une hypothèse $B_i$ soit vraie sachant l'observation $A$ — à l'aide de la formule de Bayes.

Le principe

La formule de Bayes (Théorème 1.24) : $P(B_i|A) = \dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{j\in I} P(A|B_j)P(B_j)}$ , où le dénominateur est $P(A)$ calculé par la formule des probabilités totales. Elle permet d'inverser le conditionnement : connaître $P(A|B_i)$ pour déduire $P(B_i|A)$ .

La méthode

1
Identifier la partition $(B_i)_{i\in I}$ des hypothèses et l'événement observé $A$ .
2
Calculer $P(A)$ par la formule des probabilités totales : $P(A) = \sum_j P(A|B_j)P(B_j)$ .
3
Calculer le numérateur $P(A|B_i)P(B_i)$ pour la cause $B_i$ recherchée.
4
Appliquer $P(B_i|A) = P(A|B_i)P(B_i)/P(A)$ et interpréter le résultat.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier la partition

(B_i)_{i\in I}

des hypothèses et l'événement observé

A

Partition : $A$ = « malade » ( $P(A)=10^{-4}$ ), $A^c$ = « sain ». Observation : $B$ = « test positif ».

Étape 2 —

Calculer

P(A)

par la formule des probabilités totales :

P(A) = \sum_j P(A|B_j)P(B_j)

$P(B) = P(B|A)P(A)+P(B|A^c)P(A^c) = 0{,}99\times10^{-4}+0{,}001\times0{,}9999 \approx 0{,}001099$ .

Étape 3 —

Calculer le numérateur

P(A|B_i)P(B_i)

pour la cause

B_i

recherchée.

Numérateur : $P(B|A)P(A) = 0{,}99\times10^{-4} = 9{,}9\times10^{-5}$ .

Étape 4 —

Appliquer

P(B_i|A) = P(A|B_i)P(B_i)/P(A)

et interpréter le résultat.

$P(A|B) = 9{,}9\times10^{-5}/0{,}001099 \approx 0{,}090 \approx 9\%$ . Malgré un test positif, la probabilité d'être malade reste faible (prévalence très basse).

$P(\text{malade}|\text{test positif}) \approx 9\%$ .

Application guidée

Sachant que la valeur boursière a monté (exercice du gérant : $P(I)=0{,}1$ , $P(M|I)=0{,}8$ , $P(M|I^c)=0{,}4$ , $P(M)=0{,}44$ ), calculer la probabilité que le gérant soit mal informé.

Application autonome 1

La reine porte le gène de l'hémophilie avec probabilité $1/2$ . Si porteuse, chaque prince a probabilité $1/2$ d'être hémophile. Ses 3 fils sont non hémophiles. Quelle est la probabilité qu'elle soit porteuse ?

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En calculant P(Bi∣A)P(B_i|A)P(Bi​∣A) par le rapport P(A∣Bi)P(Bi)/P(A)P(A|B_i)P(B_i) / P(A)P(A∣Bi​)P(Bi​)/P(A), P(A)P(A)P(A) obtenu par probabilités totales

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $P(B_i|A)$ par le rapport $P(A|B_i)P(B_i) / P(A)$ , $P(A)$ obtenu par probabilités totales