Comment construire un espace de probabilité pour modéliser une expérience aléatoire ? | MetMat

Comment construire un espace de probabilité pour modéliser une expérience aléatoire ?

En identifiant $\Omega$ , la tribu $\mathcal{A}$ et la probabilité $P$ adaptés à l'expérience

Construire le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ modélisant rigoureusement une expérience aléatoire donnée.

L'objectif

Construire le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ modélisant rigoureusement une expérience aléatoire donnée.

Le principe

Toute expérience aléatoire est modélisée par un triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ : l'espace fondamental $\Omega$ liste tous les résultats possibles, la tribu $\mathcal{A}$ désigne les événements auxquels on peut attribuer une probabilité, et $P$ est l'application qui à chaque événement associe sa vraisemblance dans $[0,1]$ .

La méthode

1
Recenser tous les résultats possibles de l'expérience et les encoder dans un ensemble $\Omega$ (fini, dénombrable ou continu selon la nature de l'expérience).
2
Préciser si $\Omega$ est fini/dénombrable (on prend $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$ ) ou infini non dénombrable (on indique la tribu appropriée, par exemple la tribu borélienne).
3
Choisir la probabilité $P$ : loi uniforme si tous les résultats sont équiprobables ( $P(A) = \text{card}(A)/\text{card}(\Omega)$ ), ou définir $P$ par ses valeurs sur les singletons $(p_\omega)_{\omega \in \Omega}$ vérifiant $p_\omega \geq 0$ et $\sum_{\omega} p_\omega = 1$ .
4
Vérifier que le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est bien défini : $\Omega \in \mathcal{A}$ , $P(\Omega) = 1$ , et $P$ est $\sigma$ -additive sur des événements deux à deux disjoints.
5
Exprimer les événements d'intérêt comme des sous-ensembles de $\Omega$ appartenant à $\mathcal{A}$ , puis calculer leurs probabilités via $P$ .

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Application guidée 1

On lance un dé équilibré à 6 faces. Construire l'espace de probabilité modélisant cette expérience et calculer la probabilité de l'événement $A$ = « obtenir un nombre pair ».

Application guidée 2

On lance deux fois une pièce équilibrée (Pile/Face). Construire l'espace de probabilité en tenant compte de l'ordre des lancers.

Application autonome 1

On mesure la durée de vie (en heures) d'une ampoule électrique. Construire l'espace de probabilité approprié.

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En identifiant Ω\OmegaΩ, la tribu A\mathcal{A}A et la probabilité PPP adaptés à l'expérience

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En identifiant $\Omega$ , la tribu $\mathcal{A}$ et la probabilité $P$ adaptés à l'expérience