En comparant les écarts types de deux variables aléatoires

Interpréter l'écart type pour comparer la régularité ou la dispersion de deux situations aléatoires.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Placement A : gain $X_A$ avec $E(X_A) = 100$ \text{€} et $\sigma(X_A) = 5$ \text{€}. Placement B : gain $X_B$ avec $E(X_B) = 100$ \text{€} et $\sigma(X_B) = 30$ \text{€}. Comparer.

L'objectif

Interpréter l'écart type pour comparer la régularité ou la dispersion de deux situations aléatoires.

Le principe

L'écart type $\sigma(X)$ mesure la dispersion « typique » des valeurs de $X$ autour de $E(X)$ . Plus $\sigma$ est petit, plus les valeurs sont concentrées autour de l'espérance ; plus $\sigma$ est grand, plus les valeurs sont dispersées.

La méthode

1
Calculer $E(X)$ et $\sigma(X)$ pour chaque variable aléatoire à comparer.
Comment calculer la variance et l'écart type d'une variable aléatoire ?Voir
2
Comparer les écarts types : un $\sigma$ plus petit signifie des résultats plus prévisibles (moins de risque).
3
Interpréter dans le contexte : fiabilité, risque, régularité…

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Placement A : gain $X_A$ avec $E(X_A) = 100$ \text{€} et $\sigma(X_A) = 5$ \text{€}. Placement B : gain $X_B$ avec $E(X_B) = 100$ \text{€} et $\sigma(X_B) = 30$ \text{€}. Comparer.

Étape 1 —

Calculer

E(X)

\sigma(X)

pour chaque variable aléatoire à comparer.

Les deux placements ont la même espérance de gain : $100$ \text{€}.

Étape 2 —

Comparer les écarts types : un

\sigma

plus petit signifie des résultats plus prévisibles (moins de risque).

$\sigma(X_A) = 5 < 30 = \sigma(X_B)$ : le placement A a des résultats beaucoup plus concentrés autour de $100$ \text{€}.

Étape 3 —

Interpréter dans le contexte : fiabilité, risque, régularité…

Le placement A est plus fiable (moins risqué). Le placement B est plus variable : on peut gagner beaucoup plus ou beaucoup moins que $100$ \text{€}.

Les deux placements rapportent $100$ \text{€} en moyenne, mais A est plus fiable ( $\sigma = 5$ \text{€}) tandis que B est plus risqué ( $\sigma = 30$ \text{€}).

Application guidée

Machine 1 : $X_1$ avec $E(X_1) = 50$ g et $\sigma(X_1) = 0{,}5$ g. Machine 2 : $X_2$ avec $E(X_2) = 50$ g et $\sigma(X_2) = 3$ g. Quelle machine est plus précise ?

Application autonome 1

$X$ compte le nombre de « 6 » en lançant un dé $60$ fois. On admet $E(X) = 10$ et $\sigma(X) \approx 2{,}89$ . Que peut-on en dire ?

Application autonome 2

Deux élèves ont la même moyenne de $12$ en mathématiques. Pour Léa, $\sigma = 1{,}2$ ; pour Jules, $\sigma = 4$ . Comparer leur régularité.

Application autonome 3

Deux lignes de métro ont un temps d'attente moyen de $4$ minutes. Ligne 1 : $\sigma_1 = 0{,}5$ min ; Ligne 2 : $\sigma_2 = 2{,}5$ min. Quelle ligne est plus fiable ?

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