Comment calculer la distribution après $n$ transitions d'une chaîne de Markov ?

En calculant $\pi_n = \pi_0 P^n$ où $\pi_0$ est la distribution initiale (vecteur ligne) et $P$ la matrice de transition ; le coefficient $(i,j)$ de $P^n$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en exactement $n$ transitions

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Avec $P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ et $\pi_0 = (1, 0)$ (départ certain en S), quelle est la distribution après 1 transition ?

La méthode

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Écrire la distribution initiale $\pi_0$ sous forme de vecteur ligne : $\pi_0 = (p_1, p_2, \ldots, p_k)$ avec $\sum p_i = 1$ .
2
Calculer $P^n$ par multiplications successives ou diagonalisation de $P$ .
Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?Voir
3
Effectuer le produit $\pi_n = \pi_0 \times P^n$ (vecteur ligne multiplié à droite par la matrice) pour obtenir la distribution après $n$ transitions.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Avec $P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ et $\pi_0 = (1, 0)$ (départ certain en S), quelle est la distribution après 1 transition ?

1

$\pi_0 = (1, 0)$ (probabilité 1 d'être en état S au départ).

2

$P^1 = P = \begin{pmatrix}0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}4 & 0{,}6\end{pmatrix}$ .

3

$\pi_1 = (1,0) \times P = (0{,}7, 0{,}3)$ : probabilité $0{,}7$ d'être en S, $0{,}3$ d'être en P.

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Comment calculer la distribution après nnn transitions d'une chaîne de Markov ?

En calculant πn=π0Pn\pi_n = \pi_0 P^nπn​=π0​Pn où π0\pi_0π0​ est la distribution initiale (vecteur ligne) et PPP la matrice de transition ; le coefficient (i,j)(i,j)(i,j) de PnP^nPn est la probabilité de passer de l'état iii à l'état jjj en exactement nnn transitions

Pour comprendre, passons aux exercices.

Comment calculer la distribution après $n$ transitions d'une chaîne de Markov ?

En calculant $\pi_n = \pi_0 P^n$ où $\pi_0$ est la distribution initiale (vecteur ligne) et $P$ la matrice de transition ; le coefficient $(i,j)$ de $P^n$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en exactement $n$ transitions