Comment calculer la distribution après $n$ transitions d'une chaîne de Markov ?

En calculant $\pi_n = \pi_0 P^n$ où $\pi_0$ est la distribution initiale (vecteur ligne) et $P$ la matrice de transition ; le coefficient $(i,j)$ de $P^n$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en exactement $n$ transitions

L'objectif

Calculer la distribution de probabilité $\pi_n$ sur les états après $n$ transitions à partir de la distribution initiale $\pi_0$ .

Le principe

La distribution après $n$ étapes est $\pi_n = \pi_0 P^n$ (vecteur ligne × puissance de matrice) ; le coefficient $(P^n)_{ij}$ est la probabilité de se trouver en $j$ sachant qu'on était en $i$ il y a $n$ étapes.

La méthode

1
Écrire la distribution initiale $\pi_0$ sous forme de vecteur ligne : $\pi_0 = (p_1, p_2, \ldots, p_k)$ avec $\sum p_i = 1$ .
2
Calculer $P^n$ par multiplications successives ou diagonalisation de $P$ .
Comment calculer les puissances d'une matrice carrée ?Voir
3
Effectuer le produit $\pi_n = \pi_0 \times P^n$ (vecteur ligne multiplié à droite par la matrice) pour obtenir la distribution après $n$ transitions.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En calculant πn=π0Pn\pi_n = \pi_0 P^nπn​=π0​Pn où π0\pi_0π0​ est la distribution initiale (vecteur ligne) et PPP la matrice de transition ; le coefficient (i,j)(i,j)(i,j) de PnP^nPn est la probabilité de passer de l'état iii à l'état jjj en exactement nnn transitions

Exemple corrigé

En calculant $\pi_n = \pi_0 P^n$ où $\pi_0$ est la distribution initiale (vecteur ligne) et $P$ la matrice de transition ; le coefficient $(i,j)$ de $P^n$ est la probabilité de passer de l'état $i$ à l'état $j$ en exactement $n$ transitions