Comment résoudre une équation de… : En factorisant P(z) = (z - r) · Q(z) par… — maths expertes | MetMat

Comment résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est connue ?

En factorisant $P(z) = (z - r) \cdot Q(z)$ par division euclidienne (où $r$ est la racine connue), puis en résolvant $Q(z) = 0$ (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^3 - 1 = 0$ , sachant que $1$ est racine.

La méthode

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Vérifier que $r$ est bien racine de $P$ en calculant $P(r) = 0$ .
2
Effectuer la division euclidienne de $P(z)$ par $(z - r)$ pour obtenir le polynôme $Q(z)$ de degré 2 tel que $P(z) = (z-r)Q(z)$ .
3
Résoudre $Q(z) = 0$ en calculant son discriminant $\Delta'$ . Si $\Delta' < 0$ , les deux autres racines de $P$ sont complexes conjuguées $z = \frac{-b' \pm i\sqrt{-\Delta'}}{2a'}$ .
Comment résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans $\mathbb{C}$ ?Voir
4
Conclure en listant les trois racines de $P$ et écrire la factorisation complète $P(z) = a(z-r)(z-z_1)(z-z_2)$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^3 - 1 = 0$ , sachant que $1$ est racine.

$P(1) = 1 - 1 = 0$ . ✓

$z^3 - 1 = (z-1)(z^2+z+1)$ (identité $z^3-1^3$ ). D'où $Q(z) = z^2+z+1$ .

$\Delta' = 1 - 4 = -3 < 0$ . Racines de $Q$ : $z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ , notées $j = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ et $\bar{j} = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ .

Les trois racines cubiques de $1$ sont $1$ , $j$ , $\bar{j}$ . Factorisation : $z^3-1 = (z-1)(z-j)(z-\bar{j})$ .

$z_1 = 1$ , $z_2 = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ , $z_3 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$ .

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Comment résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est connue ?

En factorisant P(z)=(z−r)⋅Q(z)P(z) = (z - r) \cdot Q(z)P(z)=(z−r)⋅Q(z) par division euclidienne (où rrr est la racine connue), puis en résolvant Q(z)=0Q(z) = 0Q(z)=0 (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)

Pour comprendre, passons aux exercices.

En factorisant $P(z) = (z - r) \cdot Q(z)$ par division euclidienne (où $r$ est la racine connue), puis en résolvant $Q(z) = 0$ (degré 2, qui admet des racines complexes conjuguées si coefficients réels)