Comment utiliser les formules d'Euler pour transformer des expressions trigonométriques ?

En développant $e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n$ et en identifiant parties réelle et imaginaire pour exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en termes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$

L'objectif

Exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ pour un entier $n$ donné.

Le principe

L'égalité $e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n = (\cos\theta + i\sin\theta)^n$ permet, après développement par le binôme de Newton, d'identifier les parties réelle et imaginaire.

La méthode

1
Développer $(\cos\theta + i\sin\theta)^n$ par le binôme de Newton, en utilisant $i^k$ cyclique.
2
Identifier la partie réelle avec $\cos(n\theta)$ et la partie imaginaire avec $\sin(n\theta)$ , puis simplifier à l'aide de $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ si nécessaire.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En développant einθ=(eiθ)ne^{in\theta} = (e^{i\theta})^neinθ=(eiθ)n et en identifiant parties réelle et imaginaire pour exprimer cos⁡(nθ)\cos(n\theta)cos(nθ) et sin⁡(nθ)\sin(n\theta)sin(nθ) en termes de cos⁡θ\cos\thetacosθ et sin⁡θ\sin\thetasinθ

Exemple corrigé

En développant $e^{in\theta} = (e^{i\theta})^n$ et en identifiant parties réelle et imaginaire pour exprimer $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en termes de $\cos\theta$ et $\sin\theta$