En utilisant les propriétés multiplicatives : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $|z^n| = |z|^n$

Calculer le module d'un produit ou d'une puissance complexe en le décomposant en modules plus simples.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $|(1 + i)^{10}|$ .

L'objectif

Calculer le module d'un produit ou d'une puissance complexe en le décomposant en modules plus simples.

Le principe

Le module est multiplicatif : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ , $|z^n| = |z|^n$ , et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ pour $z_2 \neq 0$ .

La méthode

1
Identifier la structure du nombre complexe (produit, quotient, puissance).
2
Appliquer $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ ou $|z^n| = |z|^n$ pour ramener au calcul de modules simples.
3
Calculer chaque module élémentaire (via $\sqrt{x^2+y^2}$ ) et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $|(1 + i)^{10}|$ .

Étape 1 —

Identifier la structure du nombre complexe (produit, quotient, puissance).

On a une puissance : $|(1+i)^{10}| = |1+i|^{10}$ .

Étape 2 —

Appliquer

|z_1 z_2| = |z_1||z_2|

|z^n| = |z|^n

pour ramener au calcul de modules simples.

$|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

Étape 3 —

Calculer chaque module élémentaire (via

\sqrt{x^2+y^2}

) et conclure.

$|1+i|^{10} = (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$ .

$32$

Application guidée

Calculer $\left|\dfrac{(2+i)^3}{1-i}\right|$ .

Application autonome 1

Calculer $|(3 + 4i)(1 + i)|$ .

Application autonome 2

Calculer $|(1 - i\sqrt{3})^6|$ .

Application autonome 3

Montrer que si $|z| = 1$ , alors $|z^n| = 1$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ .

Crée ton compte pour accéder à la fiche et aux exercices

En utilisant les propriétés multiplicatives : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1 z_2| = |z_1||z_2|∣z1​z2​∣=∣z1​∣∣z2​∣ et ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n∣zn∣=∣z∣n

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les propriétés multiplicatives : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $|z^n| = |z|^n$