En utilisant les propriétés multiplicatives : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $|z^n| = |z|^n$

Calculer le module d'un produit ou d'une puissance complexe en le décomposant en modules plus simples.

L'objectif

Calculer le module d'un produit ou d'une puissance complexe en le décomposant en modules plus simples.

Le principe

Le module est multiplicatif : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ , $|z^n| = |z|^n$ , et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ pour $z_2 \neq 0$ .

La méthode

1
Identifier la structure du nombre complexe (produit, quotient, puissance).
2
Appliquer $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ ou $|z^n| = |z|^n$ pour ramener au calcul de modules simples.
3
Calculer chaque module élémentaire (via $\sqrt{x^2+y^2}$ ) et conclure.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $|(1 + i)^{10}|$ .

Étape 1 —

Identifier la structure du nombre complexe (produit, quotient, puissance).

On a une puissance : $|(1+i)^{10}| = |1+i|^{10}$ .

Étape 2 —

Appliquer

|z_1 z_2| = |z_1||z_2|

|z^n| = |z|^n

pour ramener au calcul de modules simples.

$|1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ .

Étape 3 —

Calculer chaque module élémentaire (via

\sqrt{x^2+y^2}

) et conclure.

$|1+i|^{10} = (\sqrt{2})^{10} = 2^5 = 32$ .

$32$

Application guidée

Calculer $\left|\dfrac{(2+i)^3}{1-i}\right|$ .

Application autonome 1

Calculer $|(3 + 4i)(1 + i)|$ .

Application autonome 2

Calculer $|(1 - i\sqrt{3})^6|$ .

Application autonome 3

Montrer que si $|z| = 1$ , alors $|z^n| = 1$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ .

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En utilisant les propriétés multiplicatives : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1 z_2| = |z_1||z_2|∣z1​z2​∣=∣z1​∣∣z2​∣ et ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n∣zn∣=∣z∣n

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant les propriétés multiplicatives : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $|z^n| = |z|^n$