Comment déterminer le module d'un nombre complexe ?

En utilisant les propriétés multiplicatives : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $|z^n| = |z|^n$

L'objectif

Calculer le module d'un produit ou d'une puissance complexe en le décomposant en modules plus simples.

Le principe

Le module est multiplicatif : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ , $|z^n| = |z|^n$ , et $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ pour $z_2 \neq 0$ .

La méthode

1
Identifier la structure du nombre complexe (produit, quotient, puissance).
2
Appliquer $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ ou $|z^n| = |z|^n$ pour ramener au calcul de modules simples.
3
Calculer chaque module élémentaire (via $\sqrt{x^2+y^2}$ ) et conclure.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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En utilisant les propriétés multiplicatives : ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣|z_1 z_2| = |z_1||z_2|∣z1​z2​∣=∣z1​∣∣z2​∣ et ∣zn∣=∣z∣n|z^n| = |z|^n∣zn∣=∣z∣n

Exemple corrigé

En utilisant les propriétés multiplicatives : $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ et $|z^n| = |z|^n$