Comment effectuer un ajustement non affine par changement de variable ?

En posant un changement de variable linéarisant ( $Y = \ln y$ ou $X = \ln x$ )

L'objectif

Ajuster un nuage de points par une courbe non affine en se ramenant à un ajustement linéaire par changement de variable.

Le principe

On choisit le changement de variable qui transforme le modèle non linéaire en modèle affine : $Y = \ln y$ pour un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ , ou $Y = \ln y$ et $X = \ln x$ pour un modèle puissance $y = Ax^{b}$ .

La méthode

1
J'identifie la forme du modèle attendu (exponentiel $y = Ae^{bx}$ ou puissance $y = Ax^b$ ) d'après l'allure du nuage ou le contexte physique.
2
Je pose le changement de variable adapté : $Y = \ln y$ (et $X = x$ ) pour un modèle exponentiel, ou $Y = \ln y$ et $X = \ln x$ pour un modèle puissance. Je calcule les nouvelles valeurs $X_i$ et $Y_i$ .
3
J'applique la méthode des moindres carrés aux couples $(X_i, Y_i)$ pour obtenir la droite $Y = \alpha X + \beta$ , en calculant $\alpha$ et $\beta$ .
Comment déterminer la droite de régression par les moindres carrés ?Voir
4
Je reviens aux variables initiales en identifiant les paramètres : pour le modèle exponentiel, $b = \alpha$ et $A = e^{\beta}$ ; pour le modèle puissance, $b = \alpha$ et $A = e^{\beta}$ .
5
J'écris l'équation finale $y = Ae^{bx}$ (ou $y = Ax^b$ ) et je vérifie la cohérence sur un point du tableau.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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En posant un changement de variable linéarisant (Y=ln⁡yY = \ln yY=lny ou X=ln⁡xX = \ln xX=lnx)

Exemple corrigé

En posant un changement de variable linéarisant ( $Y = \ln y$ ou $X = \ln x$ )