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Comment déterminer la droite de régression par les moindres carrés ?

En calculant la pente aa et l'ordonnée à l'origine bb par les formules des moindres carrés

L'objectif

Déterminer l'équation de la droite de régression de yy en xx par la méthode des moindres carrés.

Le principe

La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite ; elle passe toujours par le point moyen G(xˉ,yˉ)G(\bar{x}, \bar{y}).

La méthode
  1. 1
    Je calcule les moyennes xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i et yˉ=1n∑i=1nyi\bar{y} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_i.
    Voir
  2. 2
    Je calcule les écarts à la moyenne xi−xˉx_i - \bar{x} et yi−yˉy_i - \bar{y} pour chaque couple, puis les produits (xi−xˉ)(yi−yˉ)(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) et les carrés (xi−xˉ)2(x_i-\bar{x})^2.
  3. 3
    Je calcule la pente : a=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2a = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
  4. 4
    Je calcule l'ordonnée à l'origine : b=yˉ−axˉb = \bar{y} - a\bar{x}, puis j'écris l'équation y=ax+by = ax + b.
  5. 5
    Je vérifie que la droite passe par G(xˉ,yˉ)G(\bar{x}, \bar{y}) en substituant : axˉ+b=yˉa\bar{x} + b = \bar{y}.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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