Comment déterminer la droite de régression par les moindres carrés ? | MetMat

Comment déterminer la droite de régression par les moindres carrés ?

En calculant la pente $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ par les formules des moindres carrés

Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.

L'objectif

Déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.

Le principe

La droite des moindres carrés minimise la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite ; elle passe toujours par le point moyen $G(\bar{x}, \bar{y})$ .

La méthode

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Calculer les moyennes $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i$ et $\bar{y} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_i$ .
Comment représenter un nuage de points et calculer le point moyen ?Voir
2
Calculer les écarts à la moyenne $x_i - \bar{x}$ et $y_i - \bar{y}$ pour chaque couple, puis les produits $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ et les carrés $(x_i-\bar{x})^2$ .
3
Calculer la pente : $a = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$ .
4
Calculer l'ordonnée à l'origine : $b = \bar{y} - a\bar{x}$ , puis écrire l'équation $y = ax + b$ .
5
Vérifier que la droite passe par $G(\bar{x}, \bar{y})$ en substituant : $a\bar{x} + b = \bar{y}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un physicien mesure la tension $x$ (en V) et l'intensité $y$ (en mA) pour 5 résistances (loi d'Ohm) : $(1 ; 5)$ , $(2 ; 10)$ , $(3 ; 14)$ , $(4 ; 21)$ , $(5 ; 25)$ . Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ .

Étape 1 —

Calculer les moyennes

\bar{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} x_i

\bar{y} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} y_i

$\bar{x} = \dfrac{1+2+3+4+5}{5} = 3$ ; $\bar{y} = \dfrac{5+10+14+21+25}{5} = \dfrac{75}{5} = 15$ .

Étape 2 —

Calculer les écarts à la moyenne

x_i - \bar{x}

y_i - \bar{y}

pour chaque couple, puis les produits

(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})

et les carrés

(x_i-\bar{x})^2

Écarts : $x_i - 3$ valent $-2, -1, 0, 1, 2$ ; $y_i - 15$ valent $-10, -5, -1, 6, 10$ . Produits : $20, 5, 0, 6, 20$ . Carrés : $4, 1, 0, 1, 4$ .

Étape 3 —

Calculer la pente :

a = \dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}

$a = \dfrac{20+5+0+6+20}{4+1+0+1+4} = \dfrac{51}{10} = 5{,}1$ .

Étape 4 —

Calculer l'ordonnée à l'origine :

b = \bar{y} - a\bar{x}

, puis écrire l'équation

y = ax + b

$b = 15 - 5{,}1 \times 3 = 15 - 15{,}3 = -0{,}3$ . Droite : $y = 5{,}1x - 0{,}3$ .

Étape 5 —

Vérifier que la droite passe par

G(\bar{x}, \bar{y})

en substituant :

a\bar{x} + b = \bar{y}

Vérification : $5{,}1 \times 3 - 0{,}3 = 15{,}3 - 0{,}3 = 15 = \bar{y}$ . La droite passe bien par $G(3 ; 15)$ .

$y = 5{,}1x - 0{,}3$ (la conductance est d'environ $5{,}1\,\mathrm{mA/V}$ )

Application guidée

On mesure la taille $x$ (en cm) et le poids $y$ (en kg) de 5 élèves : $(160 ; 55)$ , $(165 ; 60)$ , $(170 ; 65)$ , $(175 ; 70)$ , $(180 ; 78)$ . Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ .

Application autonome 1

On relève la température $x$ (en °C) et la consommation électrique $y$ (en kWh) sur 5 jours : $(2 ; 55)$ , $(5 ; 48)$ , $(8 ; 40)$ , $(11 ; 33)$ , $(14 ; 24)$ . Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ .

Application autonome 2

Un chercheur en climatologie dispose des données suivantes : année $x$ (centrée, $x = 0$ en 2000) et anomalie de température $y$ (en °C) : $(-2 ; -0{,}3)$ , $(0 ; 0{,}1)$ , $(2 ; 0{,}4)$ , $(4 ; 0{,}6)$ , $(6 ; 0{,}9)$ . Déterminer la droite de régression.

Application autonome 3

On étudie le lien entre le nombre d'heures de révision $x$ et la note obtenue $y$ (sur 20) pour 4 élèves : $(2 ; 8)$ , $(4 ; 11)$ , $(6 ; 14)$ , $(8 ; 17)$ . Déterminer la droite de régression.

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En calculant la pente aaa et l'ordonnée à l'origine bbb par les formules des moindres carrés

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En calculant la pente $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$ par les formules des moindres carrés