Étudier les variations d'une fonction contenant $\ln$

$f$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ car il faut $x > 0$.

$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1-x}{x}$.

Sur $]0 ; +\infty[$, $x > 0$ donc le signe de $f'$ est celui de $1-x$ : $f'(x) > 0$ si $x \in ]0;1[$, $f'(1) = 0$, $f'(x) < 0$ si $x \in ]1 ; +\infty[$.

$f$ est croissante sur $]0;1[$, admet un maximum en $x=1$ avec $f(1) = 0$, puis décroissante sur $]1;+\infty[$.