Comment étudier les variations d'une fonction contenant $\ln$ ?

Étudier les variations d'une fonction contenant $\ln$

L'objectif

Déterminer le sens de variation d'une fonction contenant $\ln$ et dresser son tableau de variations.

Le principe

Pour étudier les variations d'une fonction $f$ contenant $\ln u$ , il faut d'abord imposer $u > 0$ pour le domaine, puis calculer et signer $f'$ grâce à $(\ln u)' = u'/u$ .

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition $D_f$ en imposant que tous les arguments des $\ln$ présents dans $f$ soient strictement positifs.
2
Calculer $f'(x)$ sur $D_f$ en appliquant $(\ln u)' = u'/u$ et les règles de dérivation (produit, quotient, somme).
Comment calculer la dérivée d'une expression contenant $\ln$ ?Voir
3
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $D_f$ : factoriser si nécessaire, identifier les racines ou les valeurs où $f'$ s'annule ou change de signe.
4
Dresser le tableau de variations de $f$ en indiquant les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les extrema éventuels.
Comment dresser un tableau de variations et déterminer les extremums ?Voir

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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Étudier les variations d'une fonction contenant ln⁡\lnln

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