Comment étudier les variations d'une fonction contenant $\ln$ ?

Étudier les variations d'une fonction contenant $\ln$

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier les variations de $f(x) = \ln(x) - x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition $D_f$ en imposant que tous les arguments des $\ln$ présents dans $f$ soient strictement positifs.
2
Calculer $f'(x)$ sur $D_f$ en appliquant $(\ln u)' = u'/u$ et les règles de dérivation (produit, quotient, somme).
Comment calculer la dérivée d'une expression contenant $\ln$ ?Voir
3
Étudier le signe de $f'(x)$ sur $D_f$ : factoriser si nécessaire, identifier les racines ou les valeurs où $f'$ s'annule ou change de signe.
4
Dresser le tableau de variations de $f$ en indiquant les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les extrema éventuels.
Comment dresser un tableau de variations et déterminer les extremums ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = \ln(x) - x$ sur $]0 ; +\infty[$ .

1

$f$ est définie sur $]0 ; +\infty[$ car il faut $x > 0$ .

2

$f'(x) = \dfrac{1}{x} - 1 = \dfrac{1-x}{x}$ .

3

Sur $]0 ; +\infty[$ , $x > 0$ donc le signe de $f'$ est celui de $1-x$ : $f'(x) > 0$ si $x \in ]0;1[$ , $f'(1) = 0$ , $f'(x) < 0$ si $x \in ]1 ; +\infty[$ .

4

$f$ est croissante sur $]0;1[$ , admet un maximum en $x=1$ avec $f(1) = 0$ , puis décroissante sur $]1;+\infty[$ .

$f$ est croissante sur $]0;1[$ , atteint le maximum $f(1) = 0$ , puis décroissante sur $]1;+\infty[$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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