Comment utiliser l'équation fonctionnelle pour transformer une expression ? | MetMat

Comment utiliser l'équation fonctionnelle pour transformer une expression ?

Transformer une expression avec les propriétés algébriques de $\ln$

Simplifier ou développer une expression contenant $\ln$ grâce aux propriétés algébriques.

L'objectif

Simplifier ou développer une expression contenant $\ln$ grâce aux propriétés algébriques.

Le principe

Le logarithme transforme les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ , $\ln(a/b)=\ln a - \ln b$ , $\ln(a^n)=n\ln a$ .

La méthode

1
Repérer la structure de l'expression : produit, quotient ou puissance à l'intérieur du $\ln$ , ou somme/différence de $\ln$ à regrouper.
2
Appliquer la propriété algébrique adaptée : développer (un $\ln$ d'un produit/quotient/puissance) ou factoriser (une somme/différence de $\ln$ ).
3
Simplifier l'expression obtenue et vérifier que les arguments restent strictement positifs dans le domaine considéré.

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Exercice d'exemple

Simplifier $\ln(4) + \ln(25)$ .

Étape 1 —

Repérer la structure de l'expression : produit, quotient ou puissance à l'intérieur du

\ln

, ou somme/différence de

\ln

à regrouper.

On a une somme de $\ln$ , ce qui correspond à la propriété $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ .

Étape 2 —

Appliquer la propriété algébrique adaptée : développer (un

\ln

d'un produit/quotient/puissance) ou factoriser (une somme/différence de

\ln

$\ln(4) + \ln(25) = \ln(4 \times 25) = \ln(100)$ .

Étape 3 —

Simplifier l'expression obtenue et vérifier que les arguments restent strictement positifs dans le domaine considéré.

$\ln(100) = \ln(10^2) = 2\ln(10)$ . La valeur est simplifiée.

$2\ln(10)$

Application guidée

Développer $\ln\left(\dfrac{x^2}{x+1}\right)$ pour $x > 0$ .

Application autonome 1

Écrire $3\ln(2) - \ln(4)$ sous la forme $\ln(k)$ où $k$ est un entier.

Application autonome 2

Simplifier $\ln(e^3 \cdot \sqrt{x})$ pour $x > 0$ .

Application autonome 3

Écrire $\ln(18) - 2\ln(3)$ sous la forme $\ln(k)$ où $k$ est un entier.

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Transformer une expression avec les propriétés algébriques de ln⁡\lnln

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