Comment calculer l'aire sous… : Calculer une aire sous une courbe ou… — maths complémentaires | MetMat

Comment calculer l'aire sous une courbe ou entre deux courbes ?

Calculer une aire sous une courbe ou entre deux courbes

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer l'aire délimitée par la courbe de $f(x) = x^2 - 1$ et l'axe des abscisses sur $[-1, 2]$ .

La méthode

1
Identifier si on cherche l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses, ou entre deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
2
Pour une seule courbe : vérifier si $f$ change de signe sur $[a,b]$ . Si oui, utiliser Chasles pour séparer les parties positives et négatives ; l'aire vaut $\int_{\text{partie }+} f - \int_{\text{partie }-} f$ (somme des valeurs absolues).
Comment utiliser la relation de Chasles ?Voir
3
Pour deux courbes : déterminer laquelle est au-dessus sur $[a,b]$ (par étude de signe de $f-g$ ou valeur test), puis calculer $\int_a^b [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x$ (résultat positif = aire).
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Calculer l'aire délimitée par la courbe de $f(x) = x^2 - 1$ et l'axe des abscisses sur $[-1, 2]$ .

On cherche l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses.

$f(x) = x^2 - 1$ s'annule en $x = -1$ et $x = 1$ ; sur $[-1,1]$ , $f \leq 0$ ; sur $[1,2]$ , $f \geq 0$ . Par Chasles : $\mathcal{A} = \left|\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,\mathrm{d}x\right| + \int_{1}^{2}(x^2-1)\,\mathrm{d}x$ .

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x$ . $\int_{-1}^{1} = F(1)-F(-1) = (\frac{1}{3}-1)-(\frac{-1}{3}+1) = -\frac{4}{3}$ , valeur absolue $\frac{4}{3}$ . $\int_{1}^{2} = F(2)-F(1) = (\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-1) = \frac{4}{3}$ . $\mathcal{A} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ .

$\mathcal{A} = \dfrac{8}{3}$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.