Calculer une aire sous une courbe ou entre deux courbes

Calculer l'aire géométrique délimitée par une ou deux courbes sur un intervalle $[a,b]$ .

L'objectif

Calculer l'aire géométrique délimitée par une ou deux courbes sur un intervalle $[a,b]$ .

Le principe

Une aire est toujours positive : on prend la valeur absolue de l'intégrale (en découpant si $f$ change de signe) ou on intègre $|f(x)-g(x)|$ .

La méthode

1
Identifier si on cherche l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses, ou entre deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
2
Pour une seule courbe : vérifier si $f$ change de signe sur $[a,b]$ . Si oui, utiliser Chasles pour séparer les parties positives et négatives ; l'aire vaut $\int_{\text{partie }+} f - \int_{\text{partie }-} f$ (somme des valeurs absolues).
Comment utiliser la relation de Chasles ?Voir
3
Pour deux courbes : déterminer laquelle est au-dessus sur $[a,b]$ (par étude de signe de $f-g$ ou valeur test), puis calculer $\int_a^b [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x$ (résultat positif = aire).
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer l'aire délimitée par la courbe de $f(x) = x^2 - 1$ et l'axe des abscisses sur $[-1, 2]$ .

Étape 1 —

Identifier si on cherche l'aire entre

\mathcal{C}_f

et l'axe des abscisses, ou entre deux courbes

\mathcal{C}_f

\mathcal{C}_g

On cherche l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses.

Étape 2 —

Pour une seule courbe : vérifier si

f

change de signe sur

[a,b]

. Si oui, utiliser Chasles pour séparer les parties positives et négatives ; l'aire vaut

\int_{\text{partie }+} f - \int_{\text{partie }-} f

(somme des valeurs absolues).

$f(x) = x^2 - 1$ s'annule en $x = -1$ et $x = 1$ ; sur $[-1,1]$ , $f \leq 0$ ; sur $[1,2]$ , $f \geq 0$ . Par Chasles : $\mathcal{A} = \left|\int_{-1}^{1}(x^2-1)\,\mathrm{d}x\right| + \int_{1}^{2}(x^2-1)\,\mathrm{d}x$ .

Étape 3 —

Pour deux courbes : déterminer laquelle est au-dessus sur

[a,b]

(par étude de signe de

f-g

ou valeur test), puis calculer

\int_a^b [f(x)-g(x)]\,\mathrm{d}x

(résultat positif = aire).

$F(x) = \frac{x^3}{3} - x$ . $\int_{-1}^{1} = F(1)-F(-1) = (\frac{1}{3}-1)-(\frac{-1}{3}+1) = -\frac{4}{3}$ , valeur absolue $\frac{4}{3}$ . $\int_{1}^{2} = F(2)-F(1) = (\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-1) = \frac{4}{3}$ . $\mathcal{A} = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ .

$\mathcal{A} = \dfrac{8}{3}$

Application guidée

Calculer l'aire entre les courbes de $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$ sur $[0,1]$ .

Application autonome 1

Calculer l'aire délimitée par $f(x) = e^x$ et l'axe des abscisses sur $[0, 1]$ .

Application autonome 2

Calculer l'aire entre les courbes $f(x) = \ln(x)$ et $g(x) = \frac{1}{x} - 1$ sur $[1, e]$ .

Application autonome 3

Calculer l'aire délimitée par les courbes de $f(x) = 4 - x^2$ et $g(x) = x^2 - 4$ sur leur domaine d'intersection.

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