Comment calculer l'aire sous une courbe ou entre deux courbes ?

Calculer une aire sous une courbe ou entre deux courbes

L'objectif

Calculer l'aire géométrique délimitée par une ou deux courbes sur un intervalle $[a,b]$ .

Le principe

Une aire est toujours positive : on prend la valeur absolue de l'intégrale (en découpant si $f$ change de signe) ou on intègre $|f(x)-g(x)|$ .

La méthode

1
Identifier si on cherche l'aire entre $\mathcal{C}_f$ et l'axe des abscisses, ou entre deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ .
2
Pour une seule courbe : vérifier si $f$ change de signe sur $[a,b]$ . Si oui, utiliser Chasles pour séparer les parties positives et négatives ; l'aire vaut $\int_{\text{partie }+} f - \int_{\text{partie }-} f$ (somme des valeurs absolues).
Comment utiliser la relation de Chasles ?Voir
3
Pour deux courbes : déterminer laquelle est au-dessus sur $[a,b]$ (par étude de signe de $f-g$ ou valeur test), puis calculer $\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx$ (résultat positif = aire).
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir

Difficulté croissante de 1 à 4

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