Calculer la dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée d'une expression contenant une fonction composée en reconnaissant la forme et en appliquant la bonne formule.

L'objectif

Calculer la dérivée d'une expression contenant une fonction composée en reconnaissant la forme et en appliquant la bonne formule.

Le principe

Si $u$ est une fonction dérivable, alors $(e^u)' = u'e^u$ , $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ , $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ , et plus généralement $(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)$ .

La méthode

1
Identifier la structure de la fonction : repérer la fonction extérieure ( $e^{\cdot}$ , $\ln$ , puissance, etc.) et la fonction intérieure $u(x)$ .
2
Calculer la dérivée de $u$ , notée $u'$ .
3
Appliquer la formule correspondante à la fonction extérieure : $(e^u)' = u'e^u$ , $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ , $(u^n)' = n u^{n-1} u'$ , $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , ou $(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)$ .
4
Simplifier l'expression obtenue si possible, et préciser le domaine de définition de la dérivée (ex : $u > 0$ pour $\ln u$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = e^{3x^2 - 1}$ .

Étape 1 —

Identifier la structure de la fonction : repérer la fonction extérieure (

e^{\cdot}

\ln

, puissance, etc.) et la fonction intérieure

u(x)

Fonction extérieure : $e^{\cdot}$ ; fonction intérieure : $u(x) = 3x^2 - 1$ .

Étape 2 —

Calculer la dérivée de

u

, notée

u'

$u'(x) = 6x$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule correspondante à la fonction extérieure :

(e^u)' = u'e^u

(\ln u)' = \frac{u'}{u}

(u^n)' = n u^{n-1} u'

(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

, ou

(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)

$(e^u)' = u'e^u$ , donc $f'(x) = 6x \cdot e^{3x^2-1}$ .

Étape 4 —

Simplifier l'expression obtenue si possible, et préciser le domaine de définition de la dérivée (ex :

u > 0

pour

\ln u

$f'(x) = 6x\,e^{3x^2-1}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x) = 6x\,e^{3x^2-1}$

Application guidée

Calculer la dérivée de $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $h(x) = (2x - 5)^4$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $p(x) = \sqrt{3x + 2}$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $q(x) = e^{-x} \cdot \ln(2x)$ .

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