Comment calculer la dérivée d'une fonction composée ?

Calculer la dérivée d'une fonction composée

L'objectif

Calculer la dérivée d'une expression contenant une fonction composée en reconnaissant la forme et en appliquant la bonne formule.

Le principe

Si $u$ est une fonction dérivable, alors $(e^u)' = u'e^u$ , $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ , $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ , et plus généralement $(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)$ .

La méthode

1
Identifier la structure de la fonction : repérer la fonction extérieure ( $e^{\cdot}$ , $\ln$ , puissance, etc.) et la fonction intérieure $u(x)$ .
2
Calculer la dérivée de $u$ , notée $u'$ .
3
Appliquer la formule correspondante à la fonction extérieure : $(e^u)' = u'e^u$ , $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ , $(u^n)' = n u^{n-1} u'$ , $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , ou $(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)$ .
4
Simplifier l'expression obtenue si possible, et préciser le domaine de définition de la dérivée (ex : $u > 0$ pour $\ln u$ ).

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 5

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