Calculer la dérivée d'une fonction composée

Calculer la dérivée d'une expression contenant une fonction composée en reconnaissant la forme et en appliquant la bonne formule.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer la dérivée de $f(x) = e^{3x^2 - 1}$ .

L'objectif

Calculer la dérivée d'une expression contenant une fonction composée en reconnaissant la forme et en appliquant la bonne formule.

Le principe

Si $u$ est une fonction dérivable, alors $(e^u)' = u'e^u$ , $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ , $(u^n)' = nu^{n-1}u'$ , et plus généralement $(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)$ .

La méthode

1
Identifier la structure de la fonction : repérer la fonction extérieure ( $e^{\cdot}$ , $\ln$ , puissance, etc.) et la fonction intérieure $u(x)$ .
2
Calculer la dérivée de $u$ , notée $u'$ .
3
Appliquer la formule correspondante à la fonction extérieure : $(e^u)' = u'e^u$ , $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ , $(u^n)' = n u^{n-1} u'$ , $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$ , ou $(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)$ .
4
Simplifier l'expression obtenue si possible, et préciser le domaine de définition de la dérivée (ex : $u > 0$ pour $\ln u$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer la dérivée de $f(x) = e^{3x^2 - 1}$ .

Étape 1 —

Identifier la structure de la fonction : repérer la fonction extérieure (

e^{\cdot}

\ln

, puissance, etc.) et la fonction intérieure

u(x)

Fonction extérieure : $e^{\cdot}$ ; fonction intérieure : $u(x) = 3x^2 - 1$ .

Étape 2 —

Calculer la dérivée de

u

, notée

u'

$u'(x) = 6x$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule correspondante à la fonction extérieure :

(e^u)' = u'e^u

(\ln u)' = \frac{u'}{u}

(u^n)' = n u^{n-1} u'

(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}

, ou

(f(ax+b))' = a\,f'(ax+b)

$(e^u)' = u'e^u$ , donc $f'(x) = 6x \cdot e^{3x^2-1}$ .

Étape 4 —

Simplifier l'expression obtenue si possible, et préciser le domaine de définition de la dérivée (ex :

u > 0

pour

\ln u

$f'(x) = 6x\,e^{3x^2-1}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

$f'(x) = 6x\,e^{3x^2-1}$

Application guidée

Calculer la dérivée de $g(x) = \ln(x^2 + 1)$ .

Application autonome 1

Calculer la dérivée de $h(x) = (2x - 5)^4$ .

Application autonome 2

Calculer la dérivée de $p(x) = \sqrt{3x + 2}$ .

Application autonome 3

Calculer la dérivée de $q(x) = e^{-x} \cdot \ln(2x)$ .

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