Comment identifier une asymptote ?

Identifier une asymptote par le calcul de limites

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les asymptotes de $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ .

La méthode

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Pour chercher une asymptote horizontale : calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . Si l'une de ces limites vaut $L$ (réel fini), alors $y = L$ est une asymptote horizontale.
Comment calculer la limite d'une fonction ?Voir
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Pour chercher une asymptote verticale : identifier les valeurs $a$ pour lesquelles $f$ n'est pas définie (annulation du dénominateur, argument du logarithme nul, etc.), puis calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ .
Comment calculer la limite d'une fonction ?Voir
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Si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$ (en précisant si nécessaire $x \to a^+$ ou $x \to a^-$ ), alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
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Conclure en énonçant l'équation de chaque asymptote trouvée et en précisant sa nature (horizontale ou verticale).

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer les asymptotes de $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ .

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$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(2+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{3}{x})} = \frac{2}{1} = 2$ . De même $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ . Donc $y = 2$ est asymptote horizontale.

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$f$ n'est pas définie en $x = 3$ (annulation du dénominateur). On calcule la limite en $3$ .

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Quand $x \to 3^+$ , $2x+1 \to 7 > 0$ et $x - 3 \to 0^+$ , donc $f(x) \to +\infty$ . Quand $x \to 3^-$ , $x - 3 \to 0^-$ , donc $f(x) \to -\infty$ . La droite $x = 3$ est asymptote verticale.

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$f$ admet l'asymptote horizontale $y = 2$ et l'asymptote verticale $x = 3$ .

Asymptote horizontale : $y = 2$ ; asymptote verticale : $x = 3$ .

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