Calculer une limite par substitution ou levée de forme indéterminée

Calculer la limite d'une expression en repérant si elle est directement lisible ou si elle nécessite une transformation.

L'objectif

Calculer la limite d'une expression en repérant si elle est directement lisible ou si elle nécessite une transformation.

Le principe

On substitue d'abord la valeur ; si une forme indéterminée apparaît, on la lève par factorisation, mise au même dénominateur ou en utilisant les croissances comparées $e^x \gg x^n \gg \ln x$ .

La méthode

1
Substituer directement la valeur (ou $\pm\infty$ ) dans l'expression et vérifier si la limite est lisible (pas de forme indéterminée telle que $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ ).
2
Si une forme indéterminée est présente, identifier sa nature et choisir la technique adaptée : factorisation (mettre en facteur le terme dominant), mise au même dénominateur, ou croissances comparées ( $e^x \gg x^n \gg \ln x$ quand $x \to +\infty$ ).
3
Simplifier l'expression transformée en éliminant les termes négligeables ou en réduisant la fraction, puis lire la limite.
4
Conclure en écrivant $\lim f(x) = \ldots$ en précisant le point ou la direction ( $x \to a$ , $x \to +\infty$ , etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Étape 1 —

Substituer directement la valeur (ou

\pm\infty

) dans l'expression et vérifier si la limite est lisible (pas de forme indéterminée telle que

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \times \infty

En substituant $x = 3$ : $\frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ , forme indéterminée.

Étape 2 —

Si une forme indéterminée est présente, identifier sa nature et choisir la technique adaptée : factorisation (mettre en facteur le terme dominant), mise au même dénominateur, ou croissances comparées (

e^x \gg x^n \gg \ln x

quand

x \to +\infty

On factorise le numérateur : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ , donc $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$ . Technique choisie : factorisation.

Étape 3 —

Simplifier l'expression transformée en éliminant les termes négligeables ou en réduisant la fraction, puis lire la limite.

Pour $x \neq 3$ , on simplifie : $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ .

Étape 4 —

Conclure en écrivant

\lim f(x) = \ldots

en précisant le point ou la direction (

x \to a

x \to +\infty

, etc.).

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x \to 3}(x+3) = 6$ .

$6$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ .

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