Calculer une limite par substitution ou levée de forme indéterminée

Calculer la limite d'une expression en repérant si elle est directement lisible ou si elle nécessite une transformation.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

L'objectif

Calculer la limite d'une expression en repérant si elle est directement lisible ou si elle nécessite une transformation.

Le principe

On substitue d'abord la valeur ; si une forme indéterminée apparaît, on la lève par factorisation, mise au même dénominateur ou en utilisant les croissances comparées $e^x \gg x^n \gg \ln x$ .

La méthode

1
Substituer directement la valeur (ou $\pm\infty$ ) dans l'expression et vérifier si la limite est lisible (pas de forme indéterminée telle que $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ ).
2
Si une forme indéterminée est présente, identifier sa nature et choisir la technique adaptée : factorisation (mettre en facteur le terme dominant), mise au même dénominateur, ou croissances comparées ( $e^x \gg x^n \gg \ln x$ quand $x \to +\infty$ ).
3
Simplifier l'expression transformée en éliminant les termes négligeables ou en réduisant la fraction, puis lire la limite.
4
Conclure en écrivant $\lim f(x) = \ldots$ en précisant le point ou la direction ( $x \to a$ , $x \to +\infty$ , etc.).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ .

Étape 1 —

Substituer directement la valeur (ou

\pm\infty

) dans l'expression et vérifier si la limite est lisible (pas de forme indéterminée telle que

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

\infty - \infty

0 \times \infty

En substituant $x = 3$ : $\frac{9 - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$ , forme indéterminée.

Étape 2 —

Si une forme indéterminée est présente, identifier sa nature et choisir la technique adaptée : factorisation (mettre en facteur le terme dominant), mise au même dénominateur, ou croissances comparées (

e^x \gg x^n \gg \ln x

quand

x \to +\infty

On factorise le numérateur : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ , donc $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$ . Technique choisie : factorisation.

Étape 3 —

Simplifier l'expression transformée en éliminant les termes négligeables ou en réduisant la fraction, puis lire la limite.

Pour $x \neq 3$ , on simplifie : $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ .

Étape 4 —

Conclure en écrivant

\lim f(x) = \ldots

en précisant le point ou la direction (

x \to a

x \to +\infty

, etc.).

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x \to 3}(x+3) = 6$ .

$6$

Application guidée

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - x + 1}{2x^2 + 5}$ .

Application autonome 1

Calculer $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3}$ .

Application autonome 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ .

Application autonome 3

Calculer $\lim_{x \to +\infty} x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$ .

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