Appliquer la méthode d'Euler

Approcher numériquement la solution d'une équation différentielle en appliquant l'algorithme d'Euler pas à pas.

L'objectif

Approcher numériquement la solution d'une équation différentielle en appliquant l'algorithme d'Euler pas à pas.

Le principe

On remplace la courbe intégrale par sa tangente sur chaque intervalle de longueur $h$ : $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$ , ce qui donne une polygonale approchant la solution.

La méthode

1
Identifier $f(x, y)$ (le membre droit de $y' = f(x,y)$ ), la condition initiale $(x_0, y_0)$ , le pas $h$ et le nombre d'itérations (ou la valeur finale de $x$ visée).
2
Calculer les abscisses successives : $x_{n+1} = x_n + h$ pour chaque étape.
3
Appliquer la formule d'Euler : $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$ , en évaluant $f(x_n, y_n)$ à chaque étape avec les valeurs courantes.
4
Répéter les étapes 2 et 3 jusqu'à atteindre le nombre d'itérations souhaité, et lire la valeur approchée $y_n$ obtenue.

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Exercice d'exemple

On considère $y' = y$ avec $y(0) = 1$ . Appliquer la méthode d'Euler avec $h = 0{,}5$ pour approcher $y(1)$ .

Étape 1 —

Identifier

f(x, y)

(le membre droit de

y' = f(x,y)

), la condition initiale

(x_0, y_0)

, le pas

h

et le nombre d'itérations (ou la valeur finale de

x

visée).

On identifie $f(x,y) = y$ , $(x_0, y_0) = (0, 1)$ , $h = 0{,}5$ . Il faut 2 itérations pour atteindre $x = 1$ .

Étape 2 —

Calculer les abscisses successives :

x_{n+1} = x_n + h

pour chaque étape.

Abscisses : $x_0 = 0$ , $x_1 = 0{,}5$ , $x_2 = 1$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule d'Euler :

y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)

, en évaluant

f(x_n, y_n)

à chaque étape avec les valeurs courantes.

Itération 1 : $y_1 = y_0 + 0{,}5 \cdot f(x_0, y_0) = 1 + 0{,}5 \times 1 = 1{,}5$ . Itération 2 : $y_2 = y_1 + 0{,}5 \cdot f(x_1, y_1) = 1{,}5 + 0{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$ .

Étape 4 —

Répéter les étapes 2 et 3 jusqu'à atteindre le nombre d'itérations souhaité, et lire la valeur approchée

y_n

obtenue.

On obtient $y(1) \approx 2{,}25$ . La valeur exacte est $e^1 \approx 2{,}718$ .

$y(1) \approx 2{,}25$ (valeur exacte $e \approx 2{,}718$ )

Application guidée

On modélise la croissance d'une population par $P' = 0{,}1P$ avec $P(0) = 100$ . Appliquer la méthode d'Euler avec $h = 1$ pour estimer $P(3)$ .

Application autonome 1

On considère $y' = -2y + 4$ avec $y(0) = 0$ . Appliquer la méthode d'Euler avec $h = 0{,}5$ pour approcher $y(1{,}5)$ .

Application autonome 2

La charge $q(t)$ d'un condensateur vérifie $q' = -q + 3$ avec $q(0) = 1$ . Appliquer la méthode d'Euler avec $h = 0{,}5$ pour estimer $q(2)$ .

Application autonome 3

On modélise le refroidissement par $T' = -0{,}5(T - 15)$ avec $T(0) = 75$ . Appliquer Euler avec $h = 1$ pour estimer $T(3)$ .

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