Déterminer un intervalle de concentration pour une loi binomiale

Déterminer un intervalle de concentration par calcul de probabilités cumulées

L'objectif

Trouver un intervalle centré en $np$ tel que la variable $X$ s'y trouve avec probabilité au moins $1 - \alpha$ .

Le principe

Un intervalle de concentration $[np - r\,;\, np + r]$ regroupe les valeurs les plus probables de $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ avec une probabilité au moins égale au seuil fixé.

La méthode

1
Identifier $n$ , $p$ , et le seuil $1 - \alpha$ (souvent $95\%$ ), puis calculer l'espérance $np$ (centre de l'intervalle).
2
Partir de l'intervalle réduit à $\{np\}$ si $np$ est entier, ou de $\{\lfloor np \rfloor, \lceil np \rceil\}$ sinon, et calculer $P(X \in I)$ à la calculatrice.
3
Si $P(X \in I) < 1 - \alpha$ , élargir symétriquement l'intervalle en ajoutant $1$ de chaque côté : remplacer $[a\,;\,b]$ par $[a-1\,;\,b+1]$ , jusqu'à $P(X \in I) \geq 1 - \alpha$ .
4
Conclure en donnant l'intervalle $I = [a\,;\,b]$ et la probabilité correspondante, en vérifiant que l'intervalle est bien centré autour de $np$ .

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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