Déterminer un intervalle de… : Déterminer un intervalle de… — maths complémentaires | MetMat

Déterminer un intervalle de concentration pour une loi binomiale

Déterminer un intervalle de concentration par calcul de probabilités cumulées

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance $100$ fois une pièce équilibrée. $X$ est le nombre de faces. Déterminer un intervalle de concentration de $X$ au seuil $95\,\%$ .

La méthode

1
Identifier $n$ , $p$ , et le seuil $1 - \alpha$ (souvent $95\,\%$ ), puis calculer l'espérance $np$ (centre de l'intervalle).
2
Partir de l'intervalle réduit à $\{np\}$ si $np$ est entier, ou de $\{\lfloor np \rfloor, \lceil np \rceil\}$ sinon, et calculer $P(X \in I)$ à la calculatrice.
3
Si $P(X \in I) < 1 - \alpha$ , élargir symétriquement l'intervalle en ajoutant $1$ de chaque côté : remplacer $[a\,;\,b]$ par $[a-1\,;\,b+1]$ , jusqu'à $P(X \in I) \geq 1 - \alpha$ .
4
Conclure en donnant l'intervalle $I = [a\,;\,b]$ et la probabilité correspondante, en vérifiant que l'intervalle est bien centré autour de $np$ .

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On lance $100$ fois une pièce équilibrée. $X$ est le nombre de faces. Déterminer un intervalle de concentration de $X$ au seuil $95\,\%$ .

$X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$ , seuil $95\,\%$ , espérance $np = 50$ .

On part de $I = [50\,;\,50]$ : $P(X = 50) \approx 0{,}0796 < 0{,}95$ , donc on élargit.

On élargit progressivement : à la calculatrice, $P(40 \leq X \leq 60) = P(X \leq 60) - P(X \leq 39) \approx 0{,}9648 \geq 0{,}95$ .

L'intervalle $[40\,;\,60]$ est centré en $50$ et vérifie $P(X \in [40\,;\,60]) \approx 96{,}5\,\% \geq 95\,\%$ .

$I = [40\,;\,60]$ avec $P(X \in I) \approx 96{,}5\,\% \geq 95\,\%$

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