Utiliser l'absence de mémoire de la loi exponentielle

Probabilité conditionnelle par absence de mémoire

L'objectif

Calculer une probabilité conditionnelle de durée de vie restante en utilisant le fait que la loi exponentielle « ne se souvient pas du passé ».

Le principe

Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , alors pour tous $s, t \geq 0$ : $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ .

La méthode

1
Identifier la situation : on sait que l'événement a déjà duré $s$ unités de temps ( $X > s$ ), et on veut la probabilité qu'il dure encore au moins $t$ unités.
2
Appliquer l'absence de mémoire : $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ , ce qui revient à « remettre le compteur à zéro ».
3
Calculer $e^{-\lambda t}$ avec la valeur numérique de $t$ et $\lambda$ , et donner la réponse sous forme exacte.

Difficulté croissante de 1 à 5

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