Probabilité conditionnelle par absence de mémoire

Calculer une probabilité conditionnelle de durée de vie restante en utilisant le fait que la loi exponentielle « ne se souvient pas du passé ».

L'objectif

Calculer une probabilité conditionnelle de durée de vie restante en utilisant le fait que la loi exponentielle « ne se souvient pas du passé ».

Le principe

Si $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$ , alors pour tous $s, t \geq 0$ : $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ .

La méthode

1
Identifier la situation : on sait que l'événement a déjà duré $s$ unités de temps ( $X > s$ ), et on veut la probabilité qu'il dure encore au moins $t$ unités.
2
Appliquer l'absence de mémoire : $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ , ce qui revient à « remettre le compteur à zéro ».
3
Calculer $e^{-\lambda t}$ avec la valeur numérique de $t$ et $\lambda$ , et donner la réponse sous forme exacte.

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Exercice d'exemple

La durée de vie $X$ (en années) d'un équipement industriel suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ . Sachant qu'il fonctionne depuis $3$ ans, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $2$ ans ?

Étape 1 —

Identifier la situation : on sait que l'événement a déjà duré

s

unités de temps (

X > s

), et on veut la probabilité qu'il dure encore au moins

t

unités.

On est dans la situation $s = 3$ , $t = 2$ : on veut $P(X > 3+2 \mid X > 3) = P(X > 5 \mid X > 3)$ .

Étape 2 —

Appliquer l'absence de mémoire :

P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}

, ce qui revient à « remettre le compteur à zéro ».

Par absence de mémoire : $P(X > 5 \mid X > 3) = P(X > 2) = e^{-0{,}2 \times 2}$ .

Étape 3 —

Calculer

e^{-\lambda t}

avec la valeur numérique de

t

\lambda

, et donner la réponse sous forme exacte.

$P(X > 2) = e^{-0{,}4}$ .

$P(X > 5 \mid X > 3) = e^{-0{,}4}$ .

Application guidée

La durée de vie $X$ (en années) d'un onduleur suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{4}$ . Sachant qu'il fonctionne depuis $8$ ans, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $5$ ans ?

Application autonome 1

La durée de vie $X$ (en mois) d'un médicament en stock suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{24}$ . Il est en stock depuis $12$ mois. Quelle est la probabilité qu'il soit encore valide dans $12$ mois ?

Application autonome 2

Le temps de vie $X$ (en heures) d'une ampoule LED suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{1000}$ . Sachant qu'elle fonctionne depuis $500$ heures, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins $500$ heures ?

Application autonome 3

Le temps d'attente $X$ (en minutes) à une urgence médicale suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{1}{15}$ . Un patient attend depuis $10$ minutes. Quelle est la probabilité qu'il attende encore plus de $20$ minutes ?

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