Utiliser l'absence de mémoire… : Probabilité conditionnelle par… — maths complémentaires | MetMat

Utiliser l'absence de mémoire de la loi exponentielle

Probabilité conditionnelle par absence de mémoire

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La durée de vie $X$ (en années) d'un équipement industriel suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}2$ . Sachant qu'il fonctionne depuis $3$ ans, quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore au moins $2$ ans ?

La méthode

1
Identifier la situation : on sait que l'événement a déjà duré $s$ unités de temps ( $X > s$ ), et on veut la probabilité qu'il dure encore au moins $t$ unités.
2
Appliquer l'absence de mémoire : $P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) = e^{-\lambda t}$ , ce qui revient à « remettre le compteur à zéro ».
3
Calculer $e^{-\lambda t}$ avec la valeur numérique de $t$ et $\lambda$ , et donner la réponse sous forme exacte.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On est dans la situation $s = 3$ , $t = 2$ : on veut $P(X > 3+2 \mid X > 3) = P(X > 5 \mid X > 3)$ .

Par absence de mémoire : $P(X > 5 \mid X > 3) = P(X > 2) = e^{-0{,}2 \times 2}$ .

$P(X > 2) = e^{-0{,}4}$ .

$P(X > 5 \mid X > 3) = e^{-0{,}4}$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.