Probabilité par rapport de longueurs (loi uniforme)

Calculer la probabilité qu'une variable uniformément distribuée sur $[a,b]$ appartienne à un sous-intervalle $[c,d]$ .

L'objectif

Calculer la probabilité qu'une variable uniformément distribuée sur $[a,b]$ appartienne à un sous-intervalle $[c,d]$ .

Le principe

Si $X \sim \mathcal{U}([a,b])$ , alors pour tout $[c,d] \subset [a,b]$ : $P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d-c}{b-a}$ .

La méthode

1
Identifier les bornes $a$ et $b$ de la loi uniforme, puis les bornes $c$ et $d$ de l'intervalle demandé, en vérifiant que $[c,d] \subset [a,b]$ .
2
Appliquer la formule $P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d-c}{b-a}$ : c'est le rapport de la longueur de $[c,d]$ sur la longueur totale $[a,b]$ .
3
Simplifier la fraction obtenue et exprimer le résultat comme une fraction irréductible ou un pourcentage selon le contexte.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un bus arrive à une heure uniformément distribuée sur $[0, 20]$ minutes. Quelle est la probabilité qu'il arrive dans les $5$ premières minutes ?

Étape 1 —

Identifier les bornes

a

b

de la loi uniforme, puis les bornes

c

d

de l'intervalle demandé, en vérifiant que

[c,d] \subset [a,b]

On a $a = 0$ , $b = 20$ , $c = 0$ , $d = 5$ . L'intervalle $[0,5] \subset [0,20]$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule

P(c \leq X \leq d) = \dfrac{d-c}{b-a}

: c'est le rapport de la longueur de

[c,d]

sur la longueur totale

[a,b]

$P(0 \leq X \leq 5) = \dfrac{5 - 0}{20 - 0} = \dfrac{5}{20}$ .

Étape 3 —

Simplifier la fraction obtenue et exprimer le résultat comme une fraction irréductible ou un pourcentage selon le contexte.

$\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}$ .

$P(0 \leq X \leq 5) = \dfrac{1}{4}$ .

Application guidée

Une réaction chimique se déclenche à un instant $X$ uniformément distribué sur $[2, 10]$ secondes. Calculer $P(4 \leq X \leq 7)$ .

Application autonome 1

La durée de fabrication d'une pièce électronique est uniformément distribuée sur $[5, 15]$ minutes. Quelle est la probabilité que la durée dépasse $12$ minutes ?

Application autonome 2

Le taux de croissance d'une bactérie est modélisé par $X \sim \mathcal{U}([0,1])$ . Calculer $P\!\left(\dfrac{1}{4} \leq X \leq \dfrac{3}{4}\right)$ .

Application autonome 3

Un satellite passe au-dessus d'une région à un instant $X$ uniformément distribué sur $[0, 90]$ minutes. Calculer la probabilité qu'il passe entre $30$ et $60$ minutes.

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