Vérification des conditions de densité

Déterminer si une fonction donnée peut servir de densité de probabilité.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $f$ définie par $f(x) = 3x^2$ pour $x \in [0,1]$ et $f(x)=0$ sinon. $f$ est-elle une densité ?

L'objectif

Déterminer si une fonction donnée peut servir de densité de probabilité.

Le principe

Une fonction $f$ est une densité si $f(x) \geq 0$ sur son support et $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1$ .

La méthode

1
Vérifier que $f(x) \geq 0$ sur tout son support (l'intervalle où $f$ est non nulle) ; hors du support, $f$ vaut $0$ .
2
Calculer $\displaystyle\int_{\text{support}} f(x)\,\mathrm{d}x$ en utilisant les primitives connues et vérifier que cette intégrale est égale à $1$ .
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
3
Conclure : si les deux conditions sont satisfaites, $f$ est bien une densité de probabilité ; sinon, préciser laquelle est violée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = 3x^2$ pour $x \in [0,1]$ et $f(x)=0$ sinon. $f$ est-elle une densité ?

Étape 1 —

Vérifier que

f(x) \geq 0

sur tout son support (l'intervalle où

f

est non nulle) ; hors du support,

f

vaut

0

Sur $[0,1]$ , $x^2 \geq 0$ donc $f(x) = 3x^2 \geq 0$ . La positivité est vérifiée.

Étape 2 —

Calculer

\displaystyle\int_{\text{support}} f(x)\,\mathrm{d}x

en utilisant les primitives connues et vérifier que cette intégrale est égale à

1

$\displaystyle\int_0^1 3x^2\,\mathrm{d}x = \left[x^3\right]_0^1 = 1 - 0 = 1$ . L'intégrale vaut bien $1$ .

Étape 3 —

Conclure : si les deux conditions sont satisfaites,

f

est bien une densité de probabilité ; sinon, préciser laquelle est violée.

Les deux conditions sont satisfaites : $f$ est une densité de probabilité.

$f$ est une densité de probabilité sur $[0,1]$ .

Application guidée

Soit $f(x) = \frac{1}{2}e^{-x/2}$ pour $x \geq 0$ et $0$ sinon (modèle de durée de vie en heures). $f$ est-elle une densité ?

Application autonome 1

Soit $f(x) = \frac{3}{8}x^2$ pour $x \in [0, 2]$ et $0$ sinon. $f$ est-elle une densité de probabilité ?

Application autonome 2

Soit $f(x) = \frac{3}{2}x$ pour $x \in [0,1]$ et $0$ sinon. $f$ est-elle une densité ?

Application autonome 3

Soit $f(x) = c\,e^{-3x}$ pour $x \geq 0$ et $0$ sinon. Déterminer $c$ pour que $f$ soit une densité.

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