Vérification des conditions de densité

Déterminer si une fonction donnée peut servir de densité de probabilité.

L'objectif

Déterminer si une fonction donnée peut servir de densité de probabilité.

Le principe

Une fonction $f$ est une densité si $f(x) \geq 0$ sur son support et $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x = 1$ .

La méthode

1
Vérifier que $f(x) \geq 0$ sur tout son support (l'intervalle où $f$ est non nulle) ; hors du support, $f$ vaut $0$ .
2
Calculer $\displaystyle\int_{\text{support}} f(x)\,\mathrm{d}x$ en utilisant les primitives connues et vérifier que cette intégrale est égale à $1$ .
Comment calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ?Voir
3
Conclure : si les deux conditions sont satisfaites, $f$ est bien une densité de probabilité ; sinon, préciser laquelle est violée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $f$ définie par $f(x) = 3x^2$ pour $x \in [0,1]$ et $f(x)=0$ sinon. $f$ est-elle une densité ?

Étape 1 —

Vérifier que

f(x) \geq 0

sur tout son support (l'intervalle où

f

est non nulle) ; hors du support,

f

vaut

0

Sur $[0,1]$ , $x^2 \geq 0$ donc $f(x) = 3x^2 \geq 0$ . La positivité est vérifiée.

Étape 2 —

Calculer

\displaystyle\int_{\text{support}} f(x)\,\mathrm{d}x

en utilisant les primitives connues et vérifier que cette intégrale est égale à

1

$\displaystyle\int_0^1 3x^2\,\mathrm{d}x = \left[x^3\right]_0^1 = 1 - 0 = 1$ . L'intégrale vaut bien $1$ .

Étape 3 —

Conclure : si les deux conditions sont satisfaites,

f

est bien une densité de probabilité ; sinon, préciser laquelle est violée.

Les deux conditions sont satisfaites : $f$ est une densité de probabilité.

$f$ est une densité de probabilité sur $[0,1]$ .

Application guidée

Soit $f(x) = \frac{1}{2}e^{-x/2}$ pour $x \geq 0$ et $0$ sinon (modèle de durée de vie en heures). $f$ est-elle une densité ?

Application autonome 1

Soit $f(x) = \frac{3}{8}x^2$ pour $x \in [0, 2]$ et $0$ sinon. $f$ est-elle une densité de probabilité ?

Application autonome 2

Soit $f(x) = \frac{3}{2}x$ pour $x \in [0,1]$ et $0$ sinon. $f$ est-elle une densité ?

Application autonome 3

Soit $f(x) = c\,e^{-3x}$ pour $x \geq 0$ et $0$ sinon. Déterminer $c$ pour que $f$ soit une densité.

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