En identifiant un système complet d'événements $(B_i)$ partitionnant l'univers, puis en calculant $P(A) = P(B)\,P_B(A) + P(\bar{B})\,P_{\bar{B}}(A)$

Une usine possède deux machines $M_1$ et $M_2$. La machine $M_1$ produit 60 % des pièces avec 2 % de défauts ; $M_2$ produit 40 % avec 5 % de défauts. On prend une pièce au hasard. Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse ($D$).

Dans une population, 5 % des individus sont atteints d'une maladie ($M$). Un test de dépistage a une sensibilité de 90 % ($P_M(T^+) = 0{,}9$) et donne un faux positif avec probabilité 8 % ($P_{\bar{M}}(T^+) = 0{,}08$). Calculer $P(T^+)$.

Une urne $A$ contient 3 boules blanches et 2 noires ; une urne $B$ contient 1 blanche et 4 noires. On choisit l'urne $A$ avec probabilité $\frac{1}{3}$ et l'urne $B$ avec probabilité $\frac{2}{3}$, puis on tire une boule. Calculer la probabilité d'obtenir une boule blanche ($W$).

Un sportif s'entraîne avec un coach 3 jours sur 5 ($C$) et seul les autres jours ($\bar{C}$). Avec son coach il réussit son exercice avec probabilité $0{,}85$, seul avec probabilité $0{,}50$. Calculer la probabilité de réussite $P(R)$ un jour pris au hasard.

Un accusé est coupable avec probabilité $0{,}3$ ($G$). Un témoin accuse (événement $V$) avec probabilité $0{,}9$ lorsque l'accusé est coupable ($P_G(V) = 0{,}9$) et avec probabilité $0{,}3$ lorsque l'accusé est innocent ($P_{\bar{G}}(V) = 0{,}3$). Calculer la probabilité que le témoin accuse, $P(V)$.