Comment calculer la fonction $f(\hat{A})$ d'un opérateur diagonalisable ? | MetMat

Comment calculer la fonction $f(\hat{A})$ d'un opérateur diagonalisable ?

En appliquant la décomposition spectrale : $f(\hat{A}) = \sum_n f(a_n)|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ (si $\hat{A}$ est diagonalisable dans une base dénombrable)

Calculer $f(\hat{A})$ pour un opérateur diagonalisable $\hat{A}$ en appliquant $f$ scalaire à chaque valeur propre.

L'objectif

Calculer $f(\hat{A})$ pour un opérateur diagonalisable $\hat{A}$ en appliquant $f$ scalaire à chaque valeur propre.

Le principe

Si $\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ est la décomposition spectrale de $\hat{A}$ , alors $f(\hat{A}) = \sum_n f(a_n)|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ : la fonction $f$ agit sur les valeurs propres scalaires tandis que les projecteurs $|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ restent inchangés.

La méthode

1
Diagonaliser $\hat{A}$ : trouver les valeurs propres $a_n$ et la base orthonormée de vecteurs propres $\{|\psi_n\rangle\}$ telle que $\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ .
2
Appliquer la fonction $f$ à chaque valeur propre scalaire pour obtenir les nombres $f(a_n)$ (en s'assurant que $f$ est bien définie sur le spectre $\text{Sp}(\hat{A})$ ).
3
Reconstruire $f(\hat{A}) = \sum_n f(a_n)|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ et, si nécessaire, repasser en représentation matricielle en développant les produits extérieurs $|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $e^{i\theta\hat{\sigma}_z}$ pour $\theta \in \mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Diagonaliser

\hat{A}

: trouver les valeurs propres

a_n

et la base orthonormée de vecteurs propres

\{|\psi_n\rangle\}

telle que

\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|

Décomposition spectrale de $\hat{\sigma}_z$ : $\hat{\sigma}_z = (+1)|0\rangle\langle 0| + (-1)|1\rangle\langle 1|$ .

Étape 2 —

Appliquer la fonction

f

à chaque valeur propre scalaire pour obtenir les nombres

f(a_n)

(en s'assurant que

f

est bien définie sur le spectre

\text{Sp}(\hat{A})

$f(a) = e^{i\theta a}$ . $f(+1) = e^{i\theta}$ et $f(-1) = e^{-i\theta}$ .

Étape 3 —

Reconstruire

f(\hat{A}) = \sum_n f(a_n)|\psi_n\rangle\langle\psi_n|

et, si nécessaire, repasser en représentation matricielle en développant les produits extérieurs

|\psi_n\rangle\langle\psi_n|

$e^{i\theta\hat{\sigma}_z} = e^{i\theta}|0\rangle\langle 0| + e^{-i\theta}|1\rangle\langle 1| = \begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}$ .

$e^{i\theta\hat{\sigma}_z} = \begin{pmatrix}e^{i\theta}&0\\0&e^{-i\theta}\end{pmatrix}$ .

Application guidée

Calculer $\hat{\sigma}_x^2$ en utilisant la décomposition spectrale $\hat{\sigma}_x = |+\rangle\langle +| - |-\rangle\langle -|$ .

Application autonome 1

Calculer $e^{i\theta\hat{\sigma}_x}$ en utilisant la décomposition spectrale de $\hat{\sigma}_x$ .

Application autonome 2

Calculer $\sqrt{\hat{A}}$ pour $\hat{A} = \begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}$ .

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En appliquant la décomposition spectrale : f(A^)=∑nf(an)∣ψn⟩⟨ψn∣f(\hat{A}) = \sum_n f(a_n)|\psi_n\rangle\langle\psi_n|f(A^)=∑n​f(an​)∣ψn​⟩⟨ψn​∣ (si A^\hat{A}A^ est diagonalisable dans une base dénombrable)

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant la décomposition spectrale : $f(\hat{A}) = \sum_n f(a_n)|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ (si $\hat{A}$ est diagonalisable dans une base dénombrable)