En déterminant les valeurs propres réelles $a_n$ et vecteurs propres $|\psi_n\rangle$ via l'équation caractéristique, puis en écrivant la décomposition spectrale $\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$

Exprimer un opérateur hermitien sous forme de décomposition spectrale $\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ en une base orthonormée de ses vecteurs propres.

L'objectif

Exprimer un opérateur hermitien sous forme de décomposition spectrale $\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ en une base orthonormée de ses vecteurs propres.

Le principe

Le théorème spectral garantit que tout opérateur hermitien $\hat{A}$ est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres, avec des valeurs propres toutes réelles et des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes qui sont orthogonaux.

La méthode

1
Résoudre l'équation caractéristique $\det([A] - a[I]) = 0$ pour trouver les valeurs propres $a_n \in \mathbb{R}$ (réelles car $\hat{A}$ est hermitien).
2
Pour chaque valeur propre $a_n$ , déterminer le vecteur propre $|\psi_n\rangle$ en résolvant $([A] - a_n[I])\vec{v} = \vec{0}$ , puis normaliser : $\langle\psi_n|\psi_n\rangle = 1$ .
3
Vérifier l'orthogonalité : pour $a_m \neq a_n$ , vérifier $\langle\psi_m|\psi_n\rangle = 0$ (garantie par le théorème spectral). En cas de dégénérescence, orthogonaliser par Gram-Schmidt.
4
Écrire la décomposition spectrale $\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ et vérifier en recalculant $[A]$ depuis cette somme.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Diagonaliser $\hat{\sigma}_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Résoudre l'équation caractéristique

\det([A] - a[I]) = 0

pour trouver les valeurs propres

a_n \in \mathbb{R}

(réelles car

\hat{A}

est hermitien).

Valeurs propres : $\det(\sigma_z - a I) = (1-a)(-1-a) = a^2 - 1 = 0 \Rightarrow a_+ = +1$ , $a_- = -1$ .

Étape 2 —

Pour chaque valeur propre

a_n

, déterminer le vecteur propre

|\psi_n\rangle

en résolvant

([A] - a_n[I])\vec{v} = \vec{0}

, puis normaliser :

\langle\psi_n|\psi_n\rangle = 1

Pour $a_+ = +1$ : $(\sigma_z - I)\vec{v} = \begin{pmatrix}0&0\\0&-2\end{pmatrix}\vec{v} = 0 \Rightarrow v_1 = 0 \Rightarrow |\psi_+\rangle = |0\rangle = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ . Pour $a_- = -1$ : $|\psi_-\rangle = |1\rangle = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ .

Étape 3 —

Vérifier l'orthogonalité : pour

a_m \neq a_n

, vérifier

\langle\psi_m|\psi_n\rangle = 0

(garantie par le théorème spectral). En cas de dégénérescence, orthogonaliser par Gram-Schmidt.

$\langle 0|1\rangle = 0$ : orthogonaux. $\checkmark$

Étape 4 —

Écrire la décomposition spectrale

\hat{A} = \sum_n a_n|\psi_n\rangle\langle\psi_n|

et vérifier en recalculant

[A]

depuis cette somme.

$\hat{\sigma}_z = (+1)|0\rangle\langle 0| + (-1)|1\rangle\langle 1| = |0\rangle\langle 0| - |1\rangle\langle 1|$ . Vérification : $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ . $\checkmark$

$\hat{\sigma}_z = |0\rangle\langle 0| - |1\rangle\langle 1|$ , spectre $\{+1, -1\}$ , base propre $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ .

Application guidée

Diagonaliser $\hat{\sigma}_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Diagonaliser $\hat{A} = \begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ .

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