En transposant la matrice de $\hat{A}$ puis en prenant le complexe conjugué : $(A^\dagger)_{m,n} = (A_{n,m})^*$

Calculer la matrice de $\hat{A}^\dagger$ à partir de la matrice de $\hat{A}$ dans une base orthonormée.

L'objectif

Calculer la matrice de $\hat{A}^\dagger$ à partir de la matrice de $\hat{A}$ dans une base orthonormée.

Le principe

L'adjoint $\hat{A}^\dagger$ est représenté par la matrice transconjuguée (ou hermitienne conjuguée) : $(A^\dagger)_{m,n} = (A_{n,m})^*$ , c'est-à-dire la transposée de la matrice conjuguée complexe.

La méthode

1
Écrire la matrice $[A]$ de l'opérateur $\hat{A}$ dans une base orthonormée : $[A] = (A_{m,n})$ avec $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$ .
2
Transposer la matrice $[A]$ pour obtenir $[A]^T$ : l'élément $(m,n)$ de $[A]^T$ est $A_{n,m}$ (ligne et colonne échangées).
3
Conjuguer chaque élément de la matrice transposée : $(A^\dagger)_{m,n} = (A_{n,m})^*$ . Vérifier si $[A^\dagger] = [A]$ (opérateur hermitien) ou $[A^\dagger] = -[A]$ (opérateur anti-hermitien).

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Exercice d'exemple

Calculer $\hat{\sigma}_x^\dagger$ avec $[\sigma_x] = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Écrire la matrice

[A]

de l'opérateur

\hat{A}

dans une base orthonormée :

[A] = (A_{m,n})

avec

A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle

$[\sigma_x] = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ , matrice réelle.

Étape 2 —

Transposer la matrice

[A]

pour obtenir

[A]^T

: l'élément

(m,n)

[A]^T

est

A_{n,m}

(ligne et colonne échangées).

Transposée : $[\sigma_x]^T = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ (symétrique).

Étape 3 —

Conjuguer chaque élément de la matrice transposée :

(A^\dagger)_{m,n} = (A_{n,m})^*

. Vérifier si

[A^\dagger] = [A]

(opérateur hermitien) ou

[A^\dagger] = -[A]

(opérateur anti-hermitien).

Conjugaison : $(\sigma_x^\dagger)_{m,n} = (\sigma_x^T)_{m,n}^* = (\sigma_x^T)_{m,n}$ (réels). Donc $[\sigma_x^\dagger] = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} = [\sigma_x]$ : $\hat{\sigma}_x$ est hermitien. $\checkmark$

$\hat{\sigma}_x^\dagger = \hat{\sigma}_x$ : opérateur hermitien.

Application guidée

Calculer $\hat{\sigma}_y^\dagger$ avec $[\sigma_y] = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Calculer $\hat{A}^\dagger$ pour $[A] = \begin{pmatrix}1+i&2\\0&3i\end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Vérifier que l'opérateur $\hat{U} = e^{i\theta}|0\rangle\langle 0| + e^{-i\theta}|1\rangle\langle 1|$ est unitaire ( $\hat{U}^\dagger \hat{U} = \hat{I}$ ).

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En transposant la matrice de A^\hat{A}A^ puis en prenant le complexe conjugué : (A†)m,n=(An,m)∗(A^\dagger)_{m,n} = (A_{n,m})^*(A†)m,n​=(An,m​)∗

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En transposant la matrice de $\hat{A}$ puis en prenant le complexe conjugué : $(A^\dagger)_{m,n} = (A_{n,m})^*$