Comment trouver les valeurs propres d'un opérateur en dimension finie $N$ ? | MetMat

Comment trouver les valeurs propres d'un opérateur en dimension finie $N$ ?

En résolvant l'équation caractéristique $\det(\hat{A} - a\hat{I}) = 0$ , polynôme de degré $N$ en $a$ , et en déterminant ses $N$ racines

Déterminer toutes les valeurs propres d'un opérateur représenté par une matrice $N \times N$ .

L'objectif

Déterminer toutes les valeurs propres d'un opérateur représenté par une matrice $N \times N$ .

Le principe

En dimension finie $N$ , $a$ est valeur propre de $\hat{A}$ si et seulement si $\det(\hat{A} - a\hat{I}) = 0$ ; ce déterminant est un polynôme de degré $N$ en $a$ admettant exactement $N$ racines complexes (comptées avec multiplicité).

La méthode

1
Écrire la matrice $[A - a\,I]$ en soustrayant $a$ sur toute la diagonale de la matrice $[A]$ de l'opérateur $\hat{A}$ dans une base choisie.
2
Calculer le déterminant $\det([A] - a[I])$ pour obtenir le polynôme caractéristique $p(a)$ de degré $N$ .
3
Résoudre $p(a) = 0$ pour trouver les $N$ valeurs propres (racines). Identifier d'éventuelles dégénérescences (racines multiples) et vérifier que les valeurs propres sont réelles si $\hat{A}$ est hermitien.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Trouver les valeurs propres de $\hat{\sigma}_z = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ .

Étape 1 —

Écrire la matrice

[A - a\,I]

en soustrayant

a

sur toute la diagonale de la matrice

[A]

de l'opérateur

\hat{A}

dans une base choisie.

$[\sigma_z] - a[I] = \begin{pmatrix}1-a&0\\0&-1-a\end{pmatrix}$ .

Étape 2 —

Calculer le déterminant

\det([A] - a[I])

pour obtenir le polynôme caractéristique

p(a)

de degré

N

$\det = (1-a)(-1-a) = -(1-a^2) = a^2 - 1$ .

Étape 3 —

Résoudre

p(a) = 0

pour trouver les

N

valeurs propres (racines). Identifier d'éventuelles dégénérescences (racines multiples) et vérifier que les valeurs propres sont réelles si

\hat{A}

est hermitien.

$a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1$ . Deux valeurs propres non dégénérées $a_+ = +1$ et $a_- = -1$ , toutes deux réelles. $\checkmark$

$\text{Sp}(\hat{\sigma}_z) = \{+1, -1\}$ .

Application guidée

Trouver les valeurs propres de $\hat{\sigma}_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 1

Trouver les valeurs propres de $\hat{\sigma}_y = \begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}$ .

Application autonome 2

Trouver les valeurs propres de $\hat{A} = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ .

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En résolvant l'équation caractéristique det⁡(A^−aI^)=0\det(\hat{A} - a\hat{I}) = 0det(A^−aI^)=0, polynôme de degré NNN en aaa, et en déterminant ses NNN racines

Pour comprendre, fais des exercices !

En résolvant l'équation caractéristique $\det(\hat{A} - a\hat{I}) = 0$ , polynôme de degré $N$ en $a$ , et en déterminant ses $N$ racines