Comment calculer les éléments de matrice $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$ d'un opérateur dans une base ? | MetMat

Comment calculer les éléments de matrice $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$ d'un opérateur dans une base ?

En calculant $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$ pour chaque paire $(m,n)$ de vecteurs de la base orthonormée

Construire la matrice $[A]$ représentant l'opérateur $\hat{A}$ dans une base orthonormée donnée.

L'objectif

Construire la matrice $[A]$ représentant l'opérateur $\hat{A}$ dans une base orthonormée donnée.

Le principe

L'élément $(m,n)$ de la matrice de $\hat{A}$ dans la base $\{|\psi_n\rangle\}$ est $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$ : on fait agir $\hat{A}$ sur le vecteur de base colonne $|\psi_n\rangle$ , puis on projette le résultat sur le bra de base $\langle\psi_m|$ .

La méthode

1
Fixer la base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ de dimension $N$ dans laquelle on représente l'opérateur, et indexer les lignes et colonnes de la matrice par $m$ et $n$ respectivement.
2
Pour chaque vecteur de base $|\psi_n\rangle$ , calculer le ket image $\hat{A}|\psi_n\rangle$ en appliquant la définition ou les propriétés de l'opérateur.
3
Projeter $\hat{A}|\psi_n\rangle$ sur chaque bra $\langle\psi_m|$ pour obtenir $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$ . Assembler toutes les valeurs pour former la matrice $[A]_{m,n}$ .

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Exercice d'exemple

Calculer la matrice de $\hat{\sigma}_z$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ sachant que $\hat{\sigma}_z|0\rangle = |0\rangle$ et $\hat{\sigma}_z|1\rangle = -|1\rangle$ .

Étape 1 —

Fixer la base orthonormée

\{|\psi_n\rangle\}

de dimension

N

dans laquelle on représente l'opérateur, et indexer les lignes et colonnes de la matrice par

m

n

respectivement.

Base : $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ , dimension $N = 2$ . La matrice $[\sigma_z]$ est $2 \times 2$ .

Étape 2 —

Pour chaque vecteur de base

|\psi_n\rangle

, calculer le ket image

\hat{A}|\psi_n\rangle

en appliquant la définition ou les propriétés de l'opérateur.

$\hat{\sigma}_z|0\rangle = |0\rangle$ et $\hat{\sigma}_z|1\rangle = -|1\rangle$ .

Étape 3 —

Projeter

\hat{A}|\psi_n\rangle

sur chaque bra

\langle\psi_m|

pour obtenir

A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle

. Assembler toutes les valeurs pour former la matrice

[A]_{m,n}

$A_{0,0} = \langle 0|\hat{\sigma}_z|0\rangle = \langle 0|0\rangle = 1$ , $A_{1,0} = \langle 1|\hat{\sigma}_z|0\rangle = 0$ , $A_{0,1} = \langle 0|\hat{\sigma}_z|1\rangle = 0$ , $A_{1,1} = \langle 1|\hat{\sigma}_z|1\rangle = -1$ . Donc $[\sigma_z] = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ .

$[\sigma_z] = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ .

Application guidée

Calculer la matrice de $\hat{\sigma}_x$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ sachant que $\hat{\sigma}_x|0\rangle = |1\rangle$ et $\hat{\sigma}_x|1\rangle = |0\rangle$ .

Application autonome 1

Calculer la matrice du projecteur $\hat{P}_+ = |+\rangle\langle +|$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ , avec $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ .

Application autonome 2

Calculer la matrice de l'opérateur $\hat{A} = |0\rangle\langle 1| + |1\rangle\langle 0|$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ .

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En calculant Am,n=⟨ψm∣A^∣ψn⟩A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangleAm,n​=⟨ψm​∣A^∣ψn​⟩ pour chaque paire (m,n)(m,n)(m,n) de vecteurs de la base orthonormée

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En calculant $A_{m,n} = \langle\psi_m|\hat{A}|\psi_n\rangle$ pour chaque paire $(m,n)$ de vecteurs de la base orthonormée