Comment calculer le produit scalaire hermitien $\langle\psi|\psi'\rangle$ entre deux kets en notation de Dirac ? | MetMat

Comment calculer le produit scalaire hermitien $\langle\psi|\psi'\rangle$ entre deux kets en notation de Dirac ?

En décomposant les deux kets dans une base orthonormée et en sommant $\langle\psi|\psi'\rangle = \sum_n c_n^* c_n'$

Calculer $\langle\psi|\psi'\rangle$ en coordonnées, à partir des coefficients de décomposition des deux kets dans une base orthonormée.

L'objectif

Calculer $\langle\psi|\psi'\rangle$ en coordonnées, à partir des coefficients de décomposition des deux kets dans une base orthonormée.

Le principe

Dans une base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ , le produit scalaire se réduit à $\langle\psi|\psi'\rangle = \sum_n c_n^* c_n'$ grâce à $\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}$ .

La méthode

1
Choisir une base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ commune et décomposer chaque ket : $|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle$ et $|\psi'\rangle = \sum_n c_n'|\psi_n\rangle$ , où $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ et $c_n' = \langle\psi_n|\psi'\rangle$ .
2
Développer le produit scalaire : $\langle\psi|\psi'\rangle = \left(\sum_m c_m^* \langle\psi_m|\right)\left(\sum_n c_n'|\psi_n\rangle\right) = \sum_{m,n} c_m^* c_n' \langle\psi_m|\psi_n\rangle$ , puis utiliser $\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}$ pour simplifier la double somme en somme simple.
3
Conclure que $\langle\psi|\psi'\rangle = \sum_n c_n^* c_n'$ . Vérifier la cohérence en contrôlant que $\langle\psi'|\psi\rangle = (\langle\psi|\psi'\rangle)^*$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Calculer $\langle\psi|\psi'\rangle$ avec $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ et $|\psi'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ .

Étape 1 —

Choisir une base orthonormée

\{|\psi_n\rangle\}

commune et décomposer chaque ket :

|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle

|\psi'\rangle = \sum_n c_n'|\psi_n\rangle

, où

c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle

c_n' = \langle\psi_n|\psi'\rangle

Base : $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ . Coefficients : $c_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , $c_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ pour $|\psi\rangle$ ; $c_0' = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , $c_1' = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ pour $|\psi'\rangle$ .

Étape 2 —

Développer le produit scalaire :

\langle\psi|\psi'\rangle = \left(\sum_m c_m^* \langle\psi_m|\right)\left(\sum_n c_n'|\psi_n\rangle\right) = \sum_{m,n} c_m^* c_n' \langle\psi_m|\psi_n\rangle

, puis utiliser

\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}

pour simplifier la double somme en somme simple.

$\langle\psi|\psi'\rangle = c_0^* c_0' + c_1^* c_1' = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$ .

Étape 3 —

Conclure que

\langle\psi|\psi'\rangle = \sum_n c_n^* c_n'

. Vérifier la cohérence en contrôlant que

\langle\psi'|\psi\rangle = (\langle\psi|\psi'\rangle)^*

$\langle\psi|\psi'\rangle = 0$ . Ces deux états sont orthogonaux ; $\langle\psi'|\psi\rangle = 0^* = 0$ . $\checkmark$

$\langle\psi|\psi'\rangle = 0$ : les états $|+\rangle$ et $|-\rangle$ sont orthogonaux.

Application guidée

Calculer $\langle\psi|\psi'\rangle$ avec $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ et $|\psi'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ .

Application autonome 1

Système à 3 niveaux : $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|1\rangle + |2\rangle + |3\rangle)$ et $|\psi'\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle - |3\rangle)$ . Calculer $\langle\psi|\psi'\rangle$ .

Application autonome 2

Calculer $\langle 0|\psi'\rangle$ avec $|\psi'\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle + e^{i\varphi}\sin(\theta/2)|1\rangle$ .

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En décomposant les deux kets dans une base orthonormée et en sommant ⟨ψ∣ψ′⟩=∑ncn∗cn′\langle\psi|\psi'\rangle = \sum_n c_n^* c_n'⟨ψ∣ψ′⟩=∑n​cn∗​cn′​

Pour comprendre, fais des exercices !

En décomposant les deux kets dans une base orthonormée et en sommant $\langle\psi|\psi'\rangle = \sum_n c_n^* c_n'$