Comment identifier les grandeurs conservées à l'aide du commutateur $[\hat{A},\hat{H}] = 0$ ? | MetMat

Comment identifier les grandeurs conservées à l'aide du commutateur $[\hat{A},\hat{H}] = 0$ ?

En calculant le commutateur $[\hat{A},\hat{H}]$ : s'il est nul, le théorème d'Ehrenfest donne $d\langle A\rangle/dt = 0$ et la grandeur $A$ est conservée

Identifier si une observable $\hat{A}$ est une grandeur conservée en calculant son commutateur avec le hamiltonien $\hat{H}$ , et interpréter les conséquences physiques.

L'objectif

Identifier si une observable $\hat{A}$ est une grandeur conservée en calculant son commutateur avec le hamiltonien $\hat{H}$ , et interpréter les conséquences physiques.

Le principe

Par le théorème d'Ehrenfest, $\frac{d\langle A\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle$ . Si $[\hat{A},\hat{H}] = 0$ , alors $d\langle A\rangle/dt = 0$ : la valeur moyenne de $A$ est constante, et $A$ est une grandeur conservée. De plus, si le système est dans un état propre de $\hat{A}$ à l'instant $t_0$ , il y reste à tout instant. En particulier, $[\hat{H},\hat{H}] = 0$ toujours : l'énergie est toujours conservée pour un système isolé.

La méthode

1
Calculer le commutateur $[\hat{A},\hat{H}]$ par calcul direct matriciel ou par les identités algébriques (bilinéarité, règle de Leibniz). Simplifier au maximum.
2
Si $[\hat{A},\hat{H}] = 0$ , appliquer le théorème d'Ehrenfest : $d\langle A\rangle/dt = (1/i\hbar)\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle = 0$ . La valeur moyenne de $A$ est indépendante du temps : $A$ est une grandeur conservée.
3
Interpréter : si $[\hat{A},\hat{H}] = 0$ et si le système est dans un état propre de $\hat{A}$ à $t = t_0$ , il le reste pour tout $t$ (car $\hat{A}$ et $\hat{H}$ commutent, leurs états propres communs évoluent sans quitter les sous-espaces propres de $\hat{A}$ ). En particulier, l'énergie est toujours conservée pour un système isolé car $[\hat{H},\hat{H}] = 0$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Pour $\hat{H} = \dfrac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ , montrer que $\hat{\sigma}_z$ est une grandeur conservée mais pas $\hat{\sigma}_x$ .

Étape 1 —

Calculer le commutateur

[\hat{A},\hat{H}]

par calcul direct matriciel ou par les identités algébriques (bilinéarité, règle de Leibniz). Simplifier au maximum.

Pour $\hat{\sigma}_z$ : $[\hat{\sigma}_z, \hat{H}] = [\hat{\sigma}_z, \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z] = \frac{\hbar\omega_0}{2}[\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_z] = 0$ . Pour $\hat{\sigma}_x$ : $[\hat{\sigma}_x, \hat{H}] = \frac{\hbar\omega_0}{2}[\hat{\sigma}_x, \hat{\sigma}_z] = \frac{\hbar\omega_0}{2}(-2i\hat{\sigma}_y) = -i\hbar\omega_0\hat{\sigma}_y \neq 0$ .

Étape 2 —

[\hat{A},\hat{H}] = 0

, appliquer le théorème d'Ehrenfest :

d\langle A\rangle/dt = (1/i\hbar)\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle = 0

. La valeur moyenne de

A

est indépendante du temps :

A

est une grandeur conservée.

$[\hat{\sigma}_z, \hat{H}] = 0 \Rightarrow d\langle\hat{\sigma}_z\rangle/dt = 0$ : $\langle\hat{\sigma}_z\rangle$ est constant. $[\hat{\sigma}_x, \hat{H}] \neq 0 \Rightarrow d\langle\hat{\sigma}_x\rangle/dt = -\omega_0\langle\hat{\sigma}_y\rangle \neq 0$ en général : $\langle\hat{\sigma}_x\rangle$ varie.

Étape 3 —

Interpréter : si

[\hat{A},\hat{H}] = 0

et si le système est dans un état propre de

\hat{A}

t = t_0

, il le reste pour tout

t

(car

\hat{A}

\hat{H}

commutent, leurs états propres communs évoluent sans quitter les sous-espaces propres de

\hat{A}

). En particulier, l'énergie est toujours conservée pour un système isolé car

[\hat{H},\hat{H}] = 0

Interprétation : la composante $z$ du spin est conservée (alignée avec le champ $B \parallel z$ ), tandis que les composantes $x$ et $y$ précèssent (précession de Larmor). Si le spin est initialement dans $|+\rangle$ , il y reste pour toujours ( $|+\rangle$ est état propre de $\hat{H}$ ).

$\hat{\sigma}_z$ est conservée ( $[\hat{\sigma}_z,\hat{H}]=0$ ) ; $\hat{\sigma}_x$ ne l'est pas ( $[\hat{\sigma}_x,\hat{H}] \neq 0$ ).

Application guidée

Montrer que l'énergie $\hat{H}$ est toujours conservée pour un système isolé.

Application autonome 1

Système à deux niveaux avec $\hat{H} = E_0|1\rangle\langle 1| + E_0|2\rangle\langle 2| + V(|1\rangle\langle 2| + |2\rangle\langle 1|)$ ( $E_0$ identique pour les deux niveaux, couplage $V$ ). La population $\hat{P}_1 = |1\rangle\langle 1|$ est-elle conservée ?

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En calculant le commutateur [A^,H^][\hat{A},\hat{H}][A^,H^] : s'il est nul, le théorème d'Ehrenfest donne d⟨A⟩/dt=0d\langle A\rangle/dt = 0d⟨A⟩/dt=0 et la grandeur AAA est conservée

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant le commutateur $[\hat{A},\hat{H}]$ : s'il est nul, le théorème d'Ehrenfest donne $d\langle A\rangle/dt = 0$ et la grandeur $A$ est conservée