Comment définir un ECOC et l'utiliser pour préparer le système dans un état bien déterminé ? | MetMat

Comment définir un ECOC et l'utiliser pour préparer le système dans un état bien déterminé ?

En vérifiant les deux conditions de l'ECOC (commutation deux à deux et espaces propres communs de dimension 1), puis en mesurant successivement toutes les observables pour projeter le système dans l'état souhaité

Vérifier qu'un ensemble d'observables forme un ECOC, construire la base propre commune unique, et utiliser les mesures successives pour préparer le système dans un état quantique bien déterminé.

L'objectif

Le principe

Un ECOC $\{\hat{A}, \hat{B}, \hat{C}, \ldots\}$ est un ensemble d'observables (i) commutant deux à deux et (ii) dont les espaces propres communs sont tous de dimension 1. Ces deux conditions garantissent l'existence d'une unique base propre commune (à des phases près). En mesurant successivement toutes les observables de l'ECOC et en obtenant un n-uplet de valeurs propres précis $(a_m, b_n, \ldots)$ , on projette le système dans l'état propre commun unique correspondant, préparant ainsi l'état avec certitude.

La méthode

1
Vérifier que l'ensemble $\{\hat{A},\hat{B},\hat{C},\ldots\}$ est un ECOC : (i) les observables commutent deux à deux ( $[\hat{A},\hat{B}] = [\hat{A},\hat{C}] = [\hat{B},\hat{C}] = \cdots = 0$ ), et (ii) les espaces propres communs à toutes les observables sont de dimension 1 (pas de dégénérescence résiduelle).
2
La base propre commune $\{|\psi_{m,n,p,\ldots}\rangle\}$ est alors unique (à des phases près). Pour préparer le système dans l'état $|\psi_{m,n,p}\rangle$ , mesurer successivement $\hat{A}$ , $\hat{B}$ , $\hat{C}$ , ... jusqu'à obtenir le n-uplet de valeurs propres $(a_m, b_n, c_p, \ldots)$ .
3
Interpréter : à l'issue des mesures, l'état du système est connu avec certitude (= état propre commun de l'ECOC). Une nouvelle mesure de toutes les observables redonnera les mêmes résultats. Le système est «préparé» dans cet état.

Pour comprendre, fais des exercices !

0/3 validés

Exercice d'exemple

Spin-1/2 : montrer que $\{\hat{\sigma}_z\}$ seul constitue un ECOC et identifier la base propre commune.

Étape 1 —

Vérifier que l'ensemble

\{\hat{A},\hat{B},\hat{C},\ldots\}

est un ECOC : (i) les observables commutent deux à deux (

[\hat{A},\hat{B}] = [\hat{A},\hat{C}] = [\hat{B},\hat{C}] = \cdots = 0

), et (ii) les espaces propres communs à toutes les observables sont de dimension 1 (pas de dégénérescence résiduelle).

Ensemble $\{\hat{\sigma}_z\}$ : triviallement, un unique opérateur commute avec lui-même. Les espaces propres de $\hat{\sigma}_z$ sont $E_{+1} = \text{Vect}\{|+\rangle\}$ et $E_{-1} = \text{Vect}\{|-\rangle\}$ , tous deux de dimension 1. Les deux conditions ECOC sont satisfaites.

Étape 2 —

La base propre commune

\{|\psi_{m,n,p,\ldots}\rangle\}

est alors unique (à des phases près). Pour préparer le système dans l'état

|\psi_{m,n,p}\rangle

, mesurer successivement

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

, ... jusqu'à obtenir le n-uplet de valeurs propres

(a_m, b_n, c_p, \ldots)

La base propre commune unique est $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ . Pour préparer l'état $|+\rangle$ , mesurer $\hat{\sigma}_z$ et sélectionner le résultat $+1$ (post-sélection). Après cette mesure, l'état est $|+\rangle$ .

Étape 3 —

Interpréter : à l'issue des mesures, l'état du système est connu avec certitude (= état propre commun de l'ECOC). Une nouvelle mesure de toutes les observables redonnera les mêmes résultats. Le système est «préparé» dans cet état.

Interprétation : après avoir mesuré $\sigma_z = +1$ , l'état est $|+\rangle$ avec certitude. Une nouvelle mesure de $\hat{\sigma}_z$ donnera toujours $+1$ . Le spin est préparé dans $|+\rangle$ .

$\{\hat{\sigma}_z\}$ est un ECOC pour le spin-1/2. Mesurer $\sigma_z = +1$ prépare l'état $|+\rangle$ .

Application guidée

Atome hydrogène : les observables $\{\hat{H}, \hat{L}^2, \hat{L}_z\}$ forment un ECOC. Identifier les états propres communs.

Application autonome 1

Système à trois niveaux avec dégénérescence : $\hat{H}$ a deux valeurs propres $E_1$ (non dégénérée) et $E_2$ (doublement dégénérée, sous-espace $\{|2a\rangle, |2b\rangle\}$ ). Montrer que $\hat{H}$ seul ne forme pas un ECOC et comment le compléter.

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices