Comment montrer que deux observables admettent une base propre commune ? | MetMat

Comment montrer que deux observables admettent une base propre commune ?

En calculant $[\hat{A},\hat{B}] = 0$ , puis en diagonalisant $\hat{B}$ à l'intérieur de chaque sous-espace propre de $\hat{A}$ (stabilité des sous-espaces propres)

Construire explicitement une base propre commune à deux observables $\hat{A}$ et $\hat{B}$ , en exploitant la nullité de leur commutateur qui garantit la stabilité des sous-espaces propres.

L'objectif

Construire explicitement une base propre commune à deux observables $\hat{A}$ et $\hat{B}$ , en exploitant la nullité de leur commutateur qui garantit la stabilité des sous-espaces propres.

Le principe

Si $[\hat{A},\hat{B}] = 0$ , alors chaque sous-espace propre de $\hat{A}$ est stable par $\hat{B}$ . En effet, si $\hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangle$ , alors $\hat{A}(\hat{B}|\psi\rangle) = \hat{B}\hat{A}|\psi\rangle = a\,(\hat{B}|\psi\rangle)$ . On peut donc diagonaliser $\hat{B}$ dans chaque sous-espace propre de $\hat{A}$ séparément, ce qui fournit une base propre commune $\{|\psi_{m,n}\rangle\}$ à $\hat{A}$ et $\hat{B}$ .

La méthode

1
Calculer le commutateur $[\hat{A},\hat{B}]$ : s'il est nul, les sous-espaces propres de $\hat{A}$ sont stables par $\hat{B}$ (si $\hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangle$ alors $\hat{A}(\hat{B}|\psi\rangle) = a(\hat{B}|\psi\rangle)$ ).
2
Dans chaque sous-espace propre $E_a$ de $\hat{A}$ , diagonaliser la restriction de $\hat{B}$ pour construire une base propre commune $\{|\psi_{m,n}\rangle\}$ vérifiant $\hat{A}|\psi_{m,n}\rangle = a_m|\psi_{m,n}\rangle$ et $\hat{B}|\psi_{m,n}\rangle = b_n|\psi_{m,n}\rangle$ .
3
Conclure que $\hat{A}$ et $\hat{B}$ sont compatibles : il est possible de connaître simultanément les valeurs de $A$ et $B$ , car mesurer l'une ne perturbe pas l'autre. La base $\{|\psi_{m,n}\rangle\}$ est une base propre commune.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Montrer que $\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ et $\hat{\sigma}_z$ admettent une base propre commune.

Étape 1 —

Calculer le commutateur

[\hat{A},\hat{B}]

: s'il est nul, les sous-espaces propres de

\hat{A}

sont stables par

\hat{B}

(si

\hat{A}|\psi\rangle = a|\psi\rangle

alors

\hat{A}(\hat{B}|\psi\rangle) = a(\hat{B}|\psi\rangle)

$\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ est proportionnel à $\hat{\sigma}_z$ , donc $[\hat{H}, \hat{\sigma}_z] = \frac{\hbar\omega_0}{2}[\hat{\sigma}_z, \hat{\sigma}_z] = 0$ . Les sous-espaces propres de $\hat{H}$ (engendrés par $|+\rangle$ et $|-\rangle$ ) sont stables par $\hat{\sigma}_z$ .

Étape 2 —

Dans chaque sous-espace propre

E_a

\hat{A}

, diagonaliser la restriction de

\hat{B}

pour construire une base propre commune

\{|\psi_{m,n}\rangle\}

vérifiant

\hat{A}|\psi_{m,n}\rangle = a_m|\psi_{m,n}\rangle

\hat{B}|\psi_{m,n}\rangle = b_n|\psi_{m,n}\rangle

Sous-espace propre de $\hat{H}$ pour $E_+ = \hbar\omega_0/2$ : $\text{Vect}\{|+\rangle\}$ . Diagonaliser $\hat{\sigma}_z$ dans ce sous-espace : $\hat{\sigma}_z|+\rangle = |+\rangle$ , valeur propre $+1$ . De même pour $|-\rangle$ : valeur propre $-1$ .

Étape 3 —

Conclure que

\hat{A}

\hat{B}

sont compatibles : il est possible de connaître simultanément les valeurs de

A

B

, car mesurer l'une ne perturbe pas l'autre. La base

\{|\psi_{m,n}\rangle\}

est une base propre commune.

Base propre commune : $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ avec $\hat{H}|+\rangle = \frac{\hbar\omega_0}{2}|+\rangle$ , $\hat{\sigma}_z|+\rangle = +1|+\rangle$ , et symétriquement pour $|-\rangle$ . Les deux observables sont compatibles.

La base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ est propre commune à $\hat{H}$ et $\hat{\sigma}_z$ .

Application guidée

Montrer que $\hat{\sigma}_z$ et $\hat{\sigma}_x$ ne commutent pas et n'ont donc pas de base propre commune.

Application autonome 1

Système à deux niveaux : $\hat{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ et $\hat{B} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ (deux matrices diagonales). Montrer qu'elles admettent une base propre commune.

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En calculant [A^,B^]=0[\hat{A},\hat{B}] = 0[A^,B^]=0, puis en diagonalisant B^\hat{B}B^ à l'intérieur de chaque sous-espace propre de A^\hat{A}A^ (stabilité des sous-espaces propres)

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant $[\hat{A},\hat{B}] = 0$ , puis en diagonalisant $\hat{B}$ à l'intérieur de chaque sous-espace propre de $\hat{A}$ (stabilité des sous-espaces propres)