Comment identifier un état stationnaire et montrer que ses valeurs moyennes sont indépendantes du temps ? | MetMat

Comment identifier un état stationnaire et montrer que ses valeurs moyennes sont indépendantes du temps ?

En vérifiant que $|\psi(t_0)\rangle$ est état propre de $\hat{H}$ avec $\hat{H}|\psi(t_0)\rangle = E|\psi(t_0)\rangle$ , et en montrant que l'évolution $|\psi(t)\rangle = e^{-iE(t-t_0)/\hbar}|\psi(t_0)\rangle$ laisse toutes les valeurs moyennes invariantes

Identifier un état stationnaire comme état propre du hamiltonien et démontrer que toutes ses valeurs moyennes sont constantes dans le temps, du fait de la phase globale.

L'objectif

Identifier un état stationnaire comme état propre du hamiltonien et démontrer que toutes ses valeurs moyennes sont constantes dans le temps, du fait de la phase globale.

Le principe

Un état stationnaire est un état propre $|\psi_n\rangle$ du hamiltonien. Son évolution temporelle $|\psi(t)\rangle = e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle$ est une simple phase globale, sans effet physique : toutes les probabilités de mesure et toutes les valeurs moyennes restent constantes, car la phase globale se simplifie dans $\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi(t)|\hat{A}|\psi(t)\rangle$ .

La méthode

1
Vérifier que l'état initial est propre du hamiltonien : $\hat{H}|\psi(t_0)\rangle = E|\psi(t_0)\rangle$ (énergie bien définie, $\Delta E = 0$ ). Il ne s'agit pas d'une superposition de plusieurs états propres, mais d'un seul état propre.
2
Écrire l'évolution temporelle : $|\psi(t)\rangle = e^{-iE(t-t_0)/\hbar}|\psi(t_0)\rangle$ . Il s'agit d'un facteur de phase globale, sans effet sur les probabilités de mesure ni sur les valeurs moyennes.
3
Calculer la valeur moyenne d'une observable $\hat{A}$ quelconque : $\langle A\rangle_t = \langle\psi(t)|\hat{A}|\psi(t)\rangle = e^{+iE(t-t_0)/\hbar}\langle\psi(t_0)|\hat{A}\,e^{-iE(t-t_0)/\hbar}|\psi(t_0)\rangle = \langle\psi(t_0)|\hat{A}|\psi(t_0)\rangle = \langle A\rangle_{t_0},$ constante. Idem pour les probabilités : $P(a_k, t) = |\langle a_k|\psi(t)\rangle|^2 = |\langle a_k|\psi(t_0)\rangle|^2$ (la phase globale disparaît dans le module carré).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Spin-1/2 dans $\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ . L'état initial est $|\psi(0)\rangle = |+\rangle$ . Montrer que c'est un état stationnaire et que $\langle\hat{\sigma}_z\rangle$ est constant.

Étape 1 —

Vérifier que l'état initial est propre du hamiltonien :

\hat{H}|\psi(t_0)\rangle = E|\psi(t_0)\rangle

(énergie bien définie,

\Delta E = 0

). Il ne s'agit pas d'une superposition de plusieurs états propres, mais d'un seul état propre.

$\hat{H}|+\rangle = \frac{\hbar\omega_0}{2}|+\rangle$ : $|+\rangle$ est bien état propre de $\hat{H}$ avec énergie $E = \hbar\omega_0/2$ . C'est un état stationnaire.

Étape 2 —

Écrire l'évolution temporelle :

|\psi(t)\rangle = e^{-iE(t-t_0)/\hbar}|\psi(t_0)\rangle

. Il s'agit d'un facteur de phase globale, sans effet sur les probabilités de mesure ni sur les valeurs moyennes.

Évolution : $|\psi(t)\rangle = e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle$ . Il n'y a qu'un facteur de phase globale ; l'état reste «physiquement» dans $|+\rangle$ à tout instant.

Étape 3 —

Calculer la valeur moyenne d'une observable

\hat{A}

quelconque :

\langle A\rangle_t = \langle\psi(t)|\hat{A}|\psi(t)\rangle = e^{+iE(t-t_0)/\hbar}\langle\psi(t_0)|\hat{A}\,e^{-iE(t-t_0)/\hbar}|\psi(t_0)\rangle = \langle\psi(t_0)|\hat{A}|\psi(t_0)\rangle = \langle A\rangle_{t_0},

constante. Idem pour les probabilités :

P(a_k, t) = |\langle a_k|\psi(t)\rangle|^2 = |\langle a_k|\psi(t_0)\rangle|^2

(la phase globale disparaît dans le module carré).

$\langle\hat{\sigma}_z\rangle_t = e^{+i\omega_0 t/2}\langle+|\hat{\sigma}_z\, e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle = \langle+|\hat{\sigma}_z|+\rangle = +1$ , constant. De même $P(+,t) = |e^{-i\omega_0 t/2}|^2 = 1$ , constant.

$|\psi(t)\rangle = e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle$ , avec $\langle\hat{\sigma}_z\rangle = +1$ constant.

Application guidée

Système à deux niveaux : état initial $|\psi(0)\rangle = |2\rangle$ (état propre de $\hat{H}$ avec énergie $E_2$ ). Calculer $\langle\hat{A}\rangle_t$ pour une observable quelconque $\hat{A}$ .

Application autonome 1

État non-stationnaire : $|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle + |2\rangle)$ avec $E_1 \neq E_2$ . Montrer que $\langle\hat{A}\rangle_t$ peut dépendre du temps et contraster avec le cas stationnaire.

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