Comment résoudre l'équation de Schrödinger $i\hbar\,d|\psi(t)\rangle/dt = \hat{H}|\psi(t)\rangle$ pour un hamiltonien indépendant du temps ? | MetMat

Comment résoudre l'équation de Schrödinger $i\hbar\,d|\psi(t)\rangle/dt = \hat{H}|\psi(t)\rangle$ pour un hamiltonien indépendant du temps ?

En diagonalisant $\hat{H}$ pour trouver les états propres $\{|\psi_n\rangle, E_n\}$ , en décomposant l'état initial dans cette base, puis en appliquant les facteurs de phase $e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}$

Trouver la solution générale $|\psi(t)\rangle$ de l'équation de Schrödinger pour un hamiltonien indépendant du temps, à partir d'une condition initiale $|\psi(t_0)\rangle$ donnée.

L'objectif

Trouver la solution générale $|\psi(t)\rangle$ de l'équation de Schrödinger pour un hamiltonien indépendant du temps, à partir d'une condition initiale $|\psi(t_0)\rangle$ donnée.

Le principe

Lorsque $\hat{H}$ est indépendant du temps, les états propres $|\psi_n\rangle$ évoluent simplement comme $e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle$ . La solution générale est donc obtenue en décomposant l'état initial dans la base propre de $\hat{H}$ , puis en multipliant chaque composante par la phase temporelle correspondante : $|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t_0)\, e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle$ .

La méthode

1
Résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps : $\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle$ , pour trouver la base propre $\{|\psi_n\rangle\}$ et les valeurs propres (énergies) $E_n$ .
2
Décomposer l'état initial dans cette base : calculer les coefficients $c_n(t_0) = \langle\psi_n|\psi(t_0)\rangle$ . Vérifier la normalisation : $\sum_n |c_n(t_0)|^2 = 1$ .
3
Écrire la solution générale de l'équation de Schrödinger : $|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t_0)\, e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle.$ Chaque coefficient évolue comme $c_n(t) = c_n(t_0)\,e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}$ , de sorte que $|c_n(t)|^2 = |c_n(t_0)|^2$ reste constant.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Spin-1/2 avec $\hat{H} = \frac{\hbar\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ . L'état initial est $|\psi(0)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle + |-\rangle)$ . Trouver $|\psi(t)\rangle$ .

Étape 1 —

Résoudre l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle

, pour trouver la base propre

\{|\psi_n\rangle\}

et les valeurs propres (énergies)

E_n

Équation aux valeurs propres : $\hat{H}|+\rangle = \frac{\hbar\omega_0}{2}|+\rangle$ et $\hat{H}|-\rangle = -\frac{\hbar\omega_0}{2}|-\rangle$ . La base propre est $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ avec $E_+ = \hbar\omega_0/2$ , $E_- = -\hbar\omega_0/2$ .

Étape 2 —

Décomposer l'état initial dans cette base : calculer les coefficients

c_n(t_0) = \langle\psi_n|\psi(t_0)\rangle

. Vérifier la normalisation :

\sum_n |c_n(t_0)|^2 = 1

Décomposition de l'état initial : $c_+(0) = \langle+|\psi(0)\rangle = 1/\sqrt{2}$ et $c_-(0) = \langle-|\psi(0)\rangle = 1/\sqrt{2}$ . Normalisation : $|c_+|^2 + |c_-|^2 = 1$ . ✓

Étape 3 —

Écrire la solution générale de l'équation de Schrödinger :

|\psi(t)\rangle = \sum_n c_n(t_0)\, e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle.

Chaque coefficient évolue comme

c_n(t) = c_n(t_0)\,e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}

, de sorte que

|c_n(t)|^2 = |c_n(t_0)|^2

reste constant.

Solution générale : $|\psi(t)\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle + e^{+i\omega_0 t/2}|-\rangle\right).$

$|\psi(t)\rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle + e^{+i\omega_0 t/2}|-\rangle\right).$

Application guidée

Système à deux niveaux avec $E_1 = 0$ , $E_2 = \hbar\omega$ , et état initial $|\psi(0)\rangle = \cos\theta|1\rangle + \sin\theta|2\rangle$ . Résoudre.

Application autonome 1

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En diagonalisant H^\hat{H}H^ pour trouver les états propres {∣ψn⟩,En}\{|\psi_n\rangle, E_n\}{∣ψn​⟩,En​}, en décomposant l'état initial dans cette base, puis en appliquant les facteurs de phase e−iEn(t−t0)/ℏe^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}e−iEn​(t−t0​)/ℏ

Pour comprendre, fais des exercices !

En diagonalisant $\hat{H}$ pour trouver les états propres $\{|\psi_n\rangle, E_n\}$ , en décomposant l'état initial dans cette base, puis en appliquant les facteurs de phase $e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}$