Comment écrire l'opérateur d'évolution $\hat{U}(t-t_0)$ d'un système isolé dans la base propre du hamiltonien ? | MetMat

Comment écrire l'opérateur d'évolution $\hat{U}(t-t_0)$ d'un système isolé dans la base propre du hamiltonien ?

En exprimant $\hat{U}(t-t_0) = e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hbar}$ , représenté dans la base propre par $\sum_n e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$

Exprimer l'opérateur d'évolution d'un système isolé de manière explicite dans la base propre de son hamiltonien.

L'objectif

Exprimer l'opérateur d'évolution d'un système isolé de manière explicite dans la base propre de son hamiltonien.

Le principe

Pour un hamiltonien indépendant du temps, l'opérateur d'évolution est $\hat{U}(t-t_0) = e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hbar}$ . Sa représentation dans la base propre $\{|\psi_n\rangle\}$ de $\hat{H}$ est diagonale : chaque état propre acquiert simplement un facteur de phase $e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}$ . La décomposition spectrale donne $\hat{U}(t-t_0) = \sum_n e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ , qui est bien unitaire car les phases sont de module 1.

La méthode

1
Diagonaliser le hamiltonien $\hat{H}$ : résoudre $\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle$ pour trouver les énergies propres $E_n$ et les états propres $|\psi_n\rangle$ formant une base orthonormée de l'espace de Hilbert.
2
Écrire l'opérateur d'évolution sous forme spectrale : $\hat{U}(t-t_0) = \sum_n e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle\langle\psi_n|.$ Dans cette base, la matrice de $\hat{U}$ est diagonale, avec les phases pures $e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}$ sur la diagonale.
3
Vérifier l'unitarité et les conditions aux limites : $\hat{U}^\dagger\hat{U} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat{I}$ (car $|e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|^2 = 1$ ), et $\hat{U}(0) = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat{I}$ . La matrice est bien diagonale avec des phases pures.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Spin-1/2 avec $\hat{H} = \frac{\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ . Écrire $\hat{U}(t)$ dans la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ eigenstates de $\hat{\sigma}_z$ .

Étape 1 —

Diagonaliser le hamiltonien

\hat{H}

: résoudre

\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle

pour trouver les énergies propres

E_n

et les états propres

|\psi_n\rangle

formant une base orthonormée de l'espace de Hilbert.

Diagonaliser $\hat{H} = \frac{\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ : les états propres sont $|+\rangle$ et $|-\rangle$ avec les énergies $E_+ = +\hbar\omega_0/2$ et $E_- = -\hbar\omega_0/2$ .

Étape 2 —

Écrire l'opérateur d'évolution sous forme spectrale :

\hat{U}(t-t_0) = \sum_n e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle\langle\psi_n|.

Dans cette base, la matrice de

\hat{U}

est diagonale, avec les phases pures

e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}

sur la diagonale.

La décomposition spectrale donne : $\hat{U}(t) = e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle\langle+| + e^{+i\omega_0 t/2}|-\rangle\langle-|.$ En représentation matricielle dans $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ : $U(t) = \begin{pmatrix} e^{-i\omega_0 t/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\omega_0 t/2} \end{pmatrix}.$

Étape 3 —

Vérifier l'unitarité et les conditions aux limites :

\hat{U}^\dagger\hat{U} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat{I}

(car

|e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|^2 = 1

), et

\hat{U}(0) = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat{I}

. La matrice est bien diagonale avec des phases pures.

Vérification : $U^\dagger U = \begin{pmatrix} e^{+i\omega_0 t/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\omega_0 t/2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{-i\omega_0 t/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\omega_0 t/2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$ À $t=0$ : $U(0) = I$ . ✓

$\hat{U}(t) = \begin{pmatrix} e^{-i\omega_0 t/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\omega_0 t/2} \end{pmatrix}$ dans la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ .

Application guidée

Système à deux niveaux avec énergies $E_1$ et $E_2$ et états propres $|1\rangle$ , $|2\rangle$ . Écrire $\hat{U}(t-t_0)$ .

Application autonome 1

Système à trois niveaux avec énergies $E_1 < E_2 < E_3$ (états propres $|n\rangle$ ). Que devient $\hat{U}(t)$ si on prend $t_0 = 0$ ?

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