Comment écrire l'opérateur d'évolution $\hat{U}(t-t_0)$ d'un système isolé dans la base propre du hamiltonien ? | MetMat

Comment écrire l'opérateur d'évolution $\hat{U}(t-t_0)$ d'un système isolé dans la base propre du hamiltonien ?

En exprimant $\hat{U}(t-t_0) = e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hbar}$ , représenté dans la base propre par $\sum_n e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$

Exprimer l'opérateur d'évolution d'un système isolé de manière explicite dans la base propre de son hamiltonien.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Spin-1/2 avec $\hat{H} = \frac{\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ . Écrire $\hat{U}(t)$ dans la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ eigenstates de $\hat{\sigma}_z$ .

L'objectif

Exprimer l'opérateur d'évolution d'un système isolé de manière explicite dans la base propre de son hamiltonien.

Le principe

Pour un hamiltonien indépendant du temps, l'opérateur d'évolution est $\hat{U}(t-t_0) = e^{-i\hat{H}(t-t_0)/\hbar}$ . Sa représentation dans la base propre $\{|\psi_n\rangle\}$ de $\hat{H}$ est diagonale : chaque état propre acquiert simplement un facteur de phase $e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}$ . La décomposition spectrale donne $\hat{U}(t-t_0) = \sum_n e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle\langle\psi_n|$ , qui est bien unitaire car les phases sont de module 1.

La méthode

1
Diagonaliser le hamiltonien $\hat{H}$ : résoudre $\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle$ pour trouver les énergies propres $E_n$ et les états propres $|\psi_n\rangle$ formant une base orthonormée de l'espace de Hilbert.
2
Écrire l'opérateur d'évolution sous forme spectrale : $\hat{U}(t-t_0) = \sum_n e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle\langle\psi_n|.$ Dans cette base, la matrice de $\hat{U}$ est diagonale, avec les phases pures $e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}$ sur la diagonale.
3
Vérifier l'unitarité et les conditions aux limites : $\hat{U}^\dagger\hat{U} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat{I}$ (car $|e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|^2 = 1$ ), et $\hat{U}(0) = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat{I}$ . La matrice est bien diagonale avec des phases pures.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Spin-1/2 avec $\hat{H} = \frac{\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ . Écrire $\hat{U}(t)$ dans la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ eigenstates de $\hat{\sigma}_z$ .

Étape 1 —

Diagonaliser le hamiltonien

\hat{H}

: résoudre

\hat{H}|\psi_n\rangle = E_n|\psi_n\rangle

pour trouver les énergies propres

E_n

et les états propres

|\psi_n\rangle

formant une base orthonormée de l'espace de Hilbert.

Diagonaliser $\hat{H} = \frac{\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z$ : les états propres sont $|+\rangle$ et $|-\rangle$ avec les énergies $E_+ = +\hbar\omega_0/2$ et $E_- = -\hbar\omega_0/2$ .

Étape 2 —

Écrire l'opérateur d'évolution sous forme spectrale :

\hat{U}(t-t_0) = \sum_n e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|\psi_n\rangle\langle\psi_n|.

Dans cette base, la matrice de

\hat{U}

est diagonale, avec les phases pures

e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}

sur la diagonale.

La décomposition spectrale donne : $\hat{U}(t) = e^{-i\omega_0 t/2}|+\rangle\langle+| + e^{+i\omega_0 t/2}|-\rangle\langle-|.$ En représentation matricielle dans $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ : $U(t) = \begin{pmatrix} e^{-i\omega_0 t/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\omega_0 t/2} \end{pmatrix}.$

Étape 3 —

Vérifier l'unitarité et les conditions aux limites :

\hat{U}^\dagger\hat{U} = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat{I}

(car

|e^{-iE_n(t-t_0)/\hbar}|^2 = 1

), et

\hat{U}(0) = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = \hat{I}

. La matrice est bien diagonale avec des phases pures.

Vérification : $U^\dagger U = \begin{pmatrix} e^{+i\omega_0 t/2} & 0 \\ 0 & e^{-i\omega_0 t/2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{-i\omega_0 t/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\omega_0 t/2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.$ À $t=0$ : $U(0) = I$ . ✓

$\hat{U}(t) = \begin{pmatrix} e^{-i\omega_0 t/2} & 0 \\ 0 & e^{+i\omega_0 t/2} \end{pmatrix}$ dans la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ .

Application guidée

Système à deux niveaux avec énergies $E_1$ et $E_2$ et états propres $|1\rangle$ , $|2\rangle$ . Écrire $\hat{U}(t-t_0)$ .

Application autonome 1

Système à trois niveaux avec énergies $E_1 < E_2 < E_3$ (états propres $|n\rangle$ ). Que devient $\hat{U}(t)$ si on prend $t_0 = 0$ ?

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