Comment calculer la probabilité $P(a_n)$ de mesurer une valeur propre dégénérée à l'aide du projecteur $\hat{P}_n$ ? | MetMat

Comment calculer la probabilité $P(a_n)$ de mesurer une valeur propre dégénérée à l'aide du projecteur $\hat{P}_n$ ?

En construisant le projecteur $\hat{P}_n = \sum_r |\psi_{n,r}\rangle\langle\psi_{n,r}|$ sur le sous-espace propre, puis en calculant $P(a_n) = \|\hat{P}_n|\psi\rangle\|^2$

Calculer la probabilité d'obtenir la valeur propre dégénérée $a_n$ (de dégénérescence $g_n \geq 2$ ) lors d'une mesure de l'observable $\hat{A}$ sur l'état $|\psi\rangle$ .

L'objectif

Calculer la probabilité d'obtenir la valeur propre dégénérée $a_n$ (de dégénérescence $g_n \geq 2$ ) lors d'une mesure de l'observable $\hat{A}$ sur l'état $|\psi\rangle$ .

Le principe

Lorsque la valeur propre $a_n$ est dégénérée, on ne peut plus utiliser un unique vecteur propre. Il faut construire le projecteur $\hat{P}_n = \sum_{r=1}^{g_n} |\psi_{n,r}\rangle\langle\psi_{n,r}|$ sur le sous-espace propre entier. La probabilité est alors $P(a_n) = \|\hat{P}_n|\psi\rangle\|^2 = \langle\psi|\hat{P}_n|\psi\rangle = \sum_r |\langle\psi_{n,r}|\psi\rangle|^2$ , indépendante du choix de base orthonormée dans le sous-espace.

La méthode

1
Construire une base orthonormée $\{|\psi_{n,r}\rangle\}_{r=1}^{g_n}$ du sous-espace propre de $\hat{A}$ associé à la valeur propre dégénérée $a_n$ (par Gram-Schmidt si nécessaire).
2
Former le projecteur $\hat{P}_n = \sum_{r=1}^{g_n} |\psi_{n,r}\rangle\langle\psi_{n,r}|$ et l'appliquer à l'état : calculer $\hat{P}_n|\psi\rangle = \sum_r \langle\psi_{n,r}|\psi\rangle\,|\psi_{n,r}\rangle$ .
3
Calculer la probabilité $P(a_n) = \|\hat{P}_n|\psi\rangle\|^2 = \langle\psi|\hat{P}_n|\psi\rangle = \sum_{r=1}^{g_n} |\langle\psi_{n,r}|\psi\rangle|^2$ . Vérifier que $\sum_n P(a_n) = 1$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Considérons un système à 4 niveaux avec l'observable $\hat{A}$ ayant les valeurs propres $a_1 = 0$ (non dégénérée, vecteur propre $|e_1\rangle$ ) et $a_2 = 1$ (dégénérée d'ordre 3, base $\{|e_2\rangle, |e_3\rangle, |e_4\rangle\}$ ). Le système est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{2}|e_1\rangle + \frac{1}{2}|e_2\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|e_4\rangle$ . Calculer $P(a_2 = 1)$ .

Étape 1 —

Construire une base orthonormée

\{|\psi_{n,r}\rangle\}_{r=1}^{g_n}

du sous-espace propre de

\hat{A}

associé à la valeur propre dégénérée

a_n

(par Gram-Schmidt si nécessaire).

La base orthonormée du sous-espace propre de $a_2 = 1$ est déjà donnée : $\{|e_2\rangle, |e_3\rangle, |e_4\rangle\}$ ( $g_2 = 3$ ).

Étape 2 —

Former le projecteur

\hat{P}_n = \sum_{r=1}^{g_n} |\psi_{n,r}\rangle\langle\psi_{n,r}|

et l'appliquer à l'état : calculer

\hat{P}_n|\psi\rangle = \sum_r \langle\psi_{n,r}|\psi\rangle\,|\psi_{n,r}\rangle

Appliquer le projecteur : $\hat{P}_2|\psi\rangle = (|e_2\rangle\langle e_2| + |e_3\rangle\langle e_3| + |e_4\rangle\langle e_4|)|\psi\rangle = \frac{1}{2}|e_2\rangle + 0 \cdot |e_3\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|e_4\rangle$ .

Étape 3 —

Calculer la probabilité

P(a_n) = \|\hat{P}_n|\psi\rangle\|^2 = \langle\psi|\hat{P}_n|\psi\rangle = \sum_{r=1}^{g_n} |\langle\psi_{n,r}|\psi\rangle|^2

. Vérifier que

\sum_n P(a_n) = 1

Calculer $P(a_2) = \|\hat{P}_2|\psi\rangle\|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ . Vérification : $P(a_1) = |\frac{1}{2}|^2 = \frac{1}{4}$ , donc $P(a_1)+P(a_2) = 1$ . ✓

$P(a_2 = 1) = \dfrac{3}{4}$ .

Application guidée

Soit le moment cinétique orbital $l=1$ : les états $|l=1, m\rangle$ pour $m \in \{-1, 0, +1\}$ forment la base propre de $\hat{L}_z$ . L'observable $\hat{L}^2$ a pour unique valeur propre $\hbar^2 l(l+1) = 2\hbar^2$ (dégénérée 3 fois). L'état est $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|1,-1\rangle + |1,0\rangle + |1,+1\rangle)$ . Calculer $P(2\hbar^2)$ .

Application autonome 1

Un système à 3 niveaux a l'observable $\hat{H}$ avec valeurs propres $E_1$ (non dégénérée, $|1\rangle$ ) et $E_2$ (dégénérée d'ordre 2, base $\{|2\rangle, |3\rangle\}$ ). Le système est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{2}|1\rangle + \frac{\sqrt{3}}{2}|2\rangle$ . Calculer $P(E_2)$ .

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En construisant le projecteur P^n=∑r∣ψn,r⟩⟨ψn,r∣\hat{P}_n = \sum_r |\psi_{n,r}\rangle\langle\psi_{n,r}|P^n​=∑r​∣ψn,r​⟩⟨ψn,r​∣ sur le sous-espace propre, puis en calculant P(an)=∥P^n∣ψ⟩∥2P(a_n) = \|\hat{P}_n|\psi\rangle\|^2P(an​)=∥P^n​∣ψ⟩∥2

Pour comprendre, fais des exercices !

En construisant le projecteur $\hat{P}_n = \sum_r |\psi_{n,r}\rangle\langle\psi_{n,r}|$ sur le sous-espace propre, puis en calculant $P(a_n) = \|\hat{P}_n|\psi\rangle\|^2$