Comment décomposer un ket dans une base orthonormée d'un espace de Hilbert ? | MetMat

Comment décomposer un ket dans une base orthonormée d'un espace de Hilbert ?

En calculant chaque coefficient $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ par produit scalaire avec le vecteur de base, puis en sommant $|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle$

Exprimer un état quantique comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base connue.

L'objectif

Exprimer un état quantique comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base connue.

Le principe

Dans un espace de Hilbert muni d'une base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ , les coefficients de décomposition s'obtiennent directement par produit scalaire $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ grâce à l'orthonormalité $\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}$ .

La méthode

1
Identifier la base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ de l'espace de Hilbert, c'est-à-dire un ensemble de kets vérifiant $\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}$ et engendrant tout l'espace.
2
Calculer chaque coefficient $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ en prenant le produit scalaire du ket $|\psi\rangle$ avec chaque vecteur de base. L'orthonormalité garantit que $\langle\psi_n|\psi\rangle$ sélectionne uniquement la composante sur $|\psi_n\rangle$ .
3
Écrire la décomposition $|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle$ et vérifier la normalisation $\langle\psi|\psi\rangle = \sum_n |c_n|^2 = 1$ (si $|\psi\rangle$ est un état physique normé).

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Exercice d'exemple

Un spin-1/2 est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ . Décomposer $|\psi\rangle$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ .

Étape 1 —

Identifier la base orthonormée

\{|\psi_n\rangle\}

de l'espace de Hilbert, c'est-à-dire un ensemble de kets vérifiant

\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}

et engendrant tout l'espace.

La base orthonormée est $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ avec $\langle 0|0\rangle = \langle 1|1\rangle = 1$ et $\langle 0|1\rangle = 0$ .

Étape 2 —

Calculer chaque coefficient

c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle

en prenant le produit scalaire du ket

|\psi\rangle

avec chaque vecteur de base. L'orthonormalité garantit que

\langle\psi_n|\psi\rangle

sélectionne uniquement la composante sur

|\psi_n\rangle

On calcule $c_0 = \langle 0|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$ et $c_1 = \langle 1|\psi\rangle = \frac{i}{\sqrt{2}}$ .

Étape 3 —

Écrire la décomposition

|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle

et vérifier la normalisation

\langle\psi|\psi\rangle = \sum_n |c_n|^2 = 1

(si

|\psi\rangle

est un état physique normé).

On obtient $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ . Vérification : $|c_0|^2 + |c_1|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . $\checkmark$

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ , avec $c_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ et $c_1 = \frac{i}{\sqrt{2}}$ .

Application guidée

Soit la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ du spin-1/2 avec $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ et $|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$ . Décomposer $|0\rangle$ dans cette base.

Application autonome 1

Un système à 3 niveaux a pour base $\{|1\rangle, |2\rangle, |3\rangle\}$ . L'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|1\rangle - \frac{1}{\sqrt{3}}|2\rangle + \frac{i}{\sqrt{3}}|3\rangle$ . Identifier les coefficients $c_1, c_2, c_3$ .

Application autonome 2

L'état $|\psi\rangle$ d'un spin-1/2 est donné par son vecteur colonne $\begin{pmatrix} \cos(\theta/2) \\ e^{i\varphi}\sin(\theta/2) \end{pmatrix}$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ . Identifier les coefficients et vérifier la normalisation.

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En calculant chaque coefficient cn=⟨ψn∣ψ⟩c_n = \langle\psi_n|\psi\ranglecn​=⟨ψn​∣ψ⟩ par produit scalaire avec le vecteur de base, puis en sommant ∣ψ⟩=∑ncn∣ψn⟩|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle∣ψ⟩=∑n​cn​∣ψn​⟩

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En calculant chaque coefficient $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ par produit scalaire avec le vecteur de base, puis en sommant $|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle$