Comment décomposer un ket dans une base orthonormée d'un espace de Hilbert ? | MetMat

Comment décomposer un ket dans une base orthonormée d'un espace de Hilbert ?

En calculant chaque coefficient $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ par produit scalaire avec le vecteur de base, puis en sommant $|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle$

Exprimer un état quantique comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base connue.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un spin-1/2 est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ . Décomposer $|\psi\rangle$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ .

L'objectif

Exprimer un état quantique comme combinaison linéaire des vecteurs d'une base connue.

Le principe

Dans un espace de Hilbert muni d'une base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ , les coefficients de décomposition s'obtiennent directement par produit scalaire $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ grâce à l'orthonormalité $\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}$ .

La méthode

1
Identifier la base orthonormée $\{|\psi_n\rangle\}$ de l'espace de Hilbert, c'est-à-dire un ensemble de kets vérifiant $\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}$ et engendrant tout l'espace.
2
Calculer chaque coefficient $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ en prenant le produit scalaire du ket $|\psi\rangle$ avec chaque vecteur de base. L'orthonormalité garantit que $\langle\psi_n|\psi\rangle$ sélectionne uniquement la composante sur $|\psi_n\rangle$ .
3
Écrire la décomposition $|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle$ et vérifier la normalisation $\langle\psi|\psi\rangle = \sum_n |c_n|^2 = 1$ (si $|\psi\rangle$ est un état physique normé).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un spin-1/2 est dans l'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ . Décomposer $|\psi\rangle$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ .

Étape 1 —

Identifier la base orthonormée

\{|\psi_n\rangle\}

de l'espace de Hilbert, c'est-à-dire un ensemble de kets vérifiant

\langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{m,n}

et engendrant tout l'espace.

La base orthonormée est $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ avec $\langle 0|0\rangle = \langle 1|1\rangle = 1$ et $\langle 0|1\rangle = 0$ .

Étape 2 —

Calculer chaque coefficient

c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle

en prenant le produit scalaire du ket

|\psi\rangle

avec chaque vecteur de base. L'orthonormalité garantit que

\langle\psi_n|\psi\rangle

sélectionne uniquement la composante sur

|\psi_n\rangle

On calcule $c_0 = \langle 0|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$ et $c_1 = \langle 1|\psi\rangle = \frac{i}{\sqrt{2}}$ .

Étape 3 —

Écrire la décomposition

|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle

et vérifier la normalisation

\langle\psi|\psi\rangle = \sum_n |c_n|^2 = 1

(si

|\psi\rangle

est un état physique normé).

On obtient $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ . Vérification : $|c_0|^2 + |c_1|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ . $\checkmark$

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}|1\rangle$ , avec $c_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ et $c_1 = \frac{i}{\sqrt{2}}$ .

Application guidée

Soit la base $\{|+\rangle, |-\rangle\}$ du spin-1/2 avec $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ et $|-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$ . Décomposer $|0\rangle$ dans cette base.

Application autonome 1

Un système à 3 niveaux a pour base $\{|1\rangle, |2\rangle, |3\rangle\}$ . L'état $|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|1\rangle - \frac{1}{\sqrt{3}}|2\rangle + \frac{i}{\sqrt{3}}|3\rangle$ . Identifier les coefficients $c_1, c_2, c_3$ .

Application autonome 2

L'état $|\psi\rangle$ d'un spin-1/2 est donné par son vecteur colonne $\begin{pmatrix} \cos(\theta/2) \\ e^{i\varphi}\sin(\theta/2) \end{pmatrix}$ dans la base $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ . Identifier les coefficients et vérifier la normalisation.

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En calculant chaque coefficient cn=⟨ψn∣ψ⟩c_n = \langle\psi_n|\psi\ranglecn​=⟨ψn​∣ψ⟩ par produit scalaire avec le vecteur de base, puis en sommant ∣ψ⟩=∑ncn∣ψn⟩|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle∣ψ⟩=∑n​cn​∣ψn​⟩

Pour comprendre, fais des exercices !

En calculant chaque coefficient $c_n = \langle\psi_n|\psi\rangle$ par produit scalaire avec le vecteur de base, puis en sommant $|\psi\rangle = \sum_n c_n|\psi_n\rangle$