En vérifiant les trois axiomes de la définition

Montrer qu'une application $N : E \to \mathbb{R}_+$ est une norme sur l'espace vectoriel $E$ en vérifiant les trois axiomes.

L'objectif

Montrer qu'une application $N : E \to \mathbb{R}_+$ est une norme sur l'espace vectoriel $E$ en vérifiant les trois axiomes.

Le principe

Une application est une norme si et seulement si elle vérifie séparation ( $N(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ ), homogénéité ( $N(\lambda x) = |\lambda| N(x)$ ) et inégalité triangulaire ( $N(x+y) \leq N(x) + N(y)$ ).

La méthode

1
Séparation : montrer que $N(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0_E$ . Le sens $x = 0 \Rightarrow N(x) = 0$ est souvent immédiat ; le sens réciproque requiert d'analyser quand $N(x) = 0$ implique $x = 0$ .
2
Homogénéité : vérifier $N(\lambda x) = |\lambda| N(x)$ pour tout scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ et tout $x \in E$ . On fait souvent un calcul direct en substituant $\lambda x$ dans l'expression de $N$ .
3
Inégalité triangulaire : établir $N(x + y) \leq N(x) + N(y)$ pour tous $x, y \in E$ . C'est l'étape la plus délicate ; on développe $N(x+y)$ et on majore en utilisant les propriétés de $N$ ou des inégalités classiques.

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Exercice d'exemple

Montrer que $\|f\|_\infty = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|$ est une norme sur $\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ .

Étape 1 —

Séparation : montrer que

N(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0_E

. Le sens

x = 0 \Rightarrow N(x) = 0

est souvent immédiat ; le sens réciproque requiert d'analyser quand

N(x) = 0

implique

x = 0

Séparation : $\sup|f| = 0 \Leftrightarrow |f(t)| = 0$ pour tout $t \Leftrightarrow f = 0$ (fonction nulle). ✓

Étape 2 —

Homogénéité : vérifier

N(\lambda x) = |\lambda| N(x)

pour tout scalaire

\lambda \in \mathbb{K}

et tout

x \in E

. On fait souvent un calcul direct en substituant

\lambda x

dans l'expression de

N

Homogénéité : $\|\lambda f\|_\infty = \sup|\lambda f(t)| = |\lambda| \sup|f(t)| = |\lambda|\, \|f\|_\infty$ . ✓

Étape 3 —

Inégalité triangulaire : établir

N(x + y) \leq N(x) + N(y)

pour tous

x, y \in E

. C'est l'étape la plus délicate ; on développe

N(x+y)

et on majore en utilisant les propriétés de

N

ou des inégalités classiques.

Inégalité triangulaire : $|(f+g)(t)| \leq |f(t)| + |g(t)| \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty$ pour tout $t$ , donc $\|f+g\|_\infty \leq \|f\|_\infty + \|g\|_\infty$ . ✓

$\|\cdot\|_\infty$ est une norme sur $\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ .

Application guidée

Montrer que $\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|\, dt$ est une norme sur $\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})$ .

Application autonome 1

Montrer que $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$ est une norme sur $\mathbb{R}^n$ .

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