Montrer par argument de propension à payer vs coût marginal que $q^*$ maximise $\mathrm{ST}$

Démontrer que l'équilibre concurrentiel est l'unique quantité qui maximise le surplus total en exploitant la condition marginale.

L'objectif

Démontrer que l'équilibre concurrentiel est l'unique quantité qui maximise le surplus total en exploitant la condition marginale.

Le principe

Parmi tous les prix possibles, le prix d'équilibre de marché est celui qui maximise le surplus total : à $q^*$ , la propension marginale à payer égalise le coût marginal, de sorte qu'aucun échange supplémentaire n'est mutuellement bénéfique.

La méthode

1
Rappeler que le surplus total est $\mathrm{ST}(q) = \int_0^q [D^{-1}(t) - S^{-1}(t)]\,dt$ , c'est-à-dire la différence cumulée entre propension à payer et coût marginal.
2
Montrer que pour $q < q^*$ : $D^{-1}(q) > S^{-1}(q)$ (la propension à payer dépasse le coût marginal), donc une unité supplémentaire augmente $\mathrm{ST}$ — il existe des échanges mutuellement bénéfiques non réalisés.
Comment relier la propension marginale à payer à la quantité demandée ?Voir
3
Montrer que pour $q > q^*$ : $D^{-1}(q) < S^{-1}(q)$ (le coût marginal dépasse la propension à payer), donc chaque unité supplémentaire diminue $\mathrm{ST}$ — ces échanges sont mutuellement néfastes.
Comment déterminer la quantité produite optimale d'une entreprise à prix donné ?Voir
4
Conclure que $\mathrm{ST}$ est maximisé en $q^*$ où $D^{-1}(q^*) = S^{-1}(q^*)$ , c'est-à-dire au prix d'équilibre $p^* = D^{-1}(q^*) = S^{-1}(q^*)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/4 validés

Exercice d'exemple

Marché du poisson du Kerala. $D(p) = 100 - 2p$ (donc $D^{-1}(q) = 50 - q/2$ ) et $S(p) = 3p - 50$ (donc $S^{-1}(q) = (q+50)/3$ ). Montrer que $q^* = 40$ maximise $\mathrm{ST}$ .

Étape 1 —

Rappeler que le surplus total est

\mathrm{ST}(q) = \int_0^q [D^{-1}(t) - S^{-1}(t)]\,dt

, c'est-à-dire la différence cumulée entre propension à payer et coût marginal.

$\mathrm{ST}(q) = \int_0^q [(50 - t/2) - (t+50)/3]\,dt = \int_0^q [50/3 - 5t/6]\,dt$ .

Étape 2 —

Montrer que pour

q < q^*

D^{-1}(q) > S^{-1}(q)

(la propension à payer dépasse le coût marginal), donc une unité supplémentaire augmente

\mathrm{ST}

— il existe des échanges mutuellement bénéfiques non réalisés.

Pour $q = 20 < q^* = 40$ : $D^{-1}(20) = 40 > S^{-1}(20) = 70/3 \approx 23$ . La propension à payer ( $40$ ) > coût marginal ( $23$ ) → échanges bénéfiques non réalisés.

Étape 3 —

Montrer que pour

q > q^*

D^{-1}(q) < S^{-1}(q)

(le coût marginal dépasse la propension à payer), donc chaque unité supplémentaire diminue

\mathrm{ST}

— ces échanges sont mutuellement néfastes.

Pour $q = 60 > q^* = 40$ : $D^{-1}(60) = 20 < S^{-1}(60) = 110/3 \approx 37$ . Coût marginal ( $37$ ) > propension à payer ( $20$ ) → échange mutuellement néfaste.

Étape 4 —

Conclure que

\mathrm{ST}

est maximisé en

q^*

où

D^{-1}(q^*) = S^{-1}(q^*)

, c'est-à-dire au prix d'équilibre

p^* = D^{-1}(q^*) = S^{-1}(q^*)

En $q^* = 40$ : $D^{-1}(40) = 30 = S^{-1}(40)$ → condition marginale satisfaite, $\mathrm{ST}$ est maximisé.

$q^* = 40$ maximise le surplus total car c'est l'unique quantité où propension à payer = coût marginal.

Application guidée

Marché du blé. $D^{-1}(q) = 10 - q/50$ , $S^{-1}(q) = (q+100)/100$ . Équilibre $q^* = 300$ . Vérifier graphiquement et numériquement l'argument marginal pour $q = 200$ et $q = 350$ .

Application autonome 1

Marché de l'énergie. $D^{-1}(q) = 20 - q/10$ et $S^{-1}(q) = (q+10)/5$ . Calculer le surplus total maximal et montrer que toute déviation le réduit.

Application autonome 2

Démonstration générale (forme linéaire). Soient $D^{-1}(q) = a - bq$ et $S^{-1}(q) = c + dq$ avec $a > c$ et $b, d > 0$ . Montrer que $q^*$ maximise le surplus total.

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices

Montrer par argument de propension à payer vs coût marginal que q∗q^*q∗ maximise ST\mathrm{ST}ST

Pour comprendre, fais des exercices !

Montrer par argument de propension à payer vs coût marginal que $q^*$ maximise $\mathrm{ST}$