Comment étudier une fonction polynôme du second degré avec la dérivation ?

En dérivant et en déterminant variations, extremum, allure

L'objectif

Étudier complètement un polynôme du second degré par la dérivation.

Le principe

Pour $f(x) = ax^2 + bx + c$ , on a $f'(x) = 2ax + b$ qui s’annule en $x = -\dfrac{b}{2a}$ , sommet de la parabole.

La méthode

1
Je calcule $f'(x) = 2ax + b$ et je résous $f'(x) = 0$ : $x_S = -\dfrac{b}{2a}$ .
2
J’étudie le signe de $f'$ : si $a > 0$ , $f' < 0$ avant $x_S$ et $f' > 0$ après ; si $a < 0$ , c’est l’inverse.
3
J’en déduis les variations : si $a > 0$ , $f$ décroîssante puis croissante (minimum) ; si $a < 0$ , croissante puis décroissante (maximum).
4
Je calcule $f(x_S)$ (valeur de l’extremum) et je décris l’allure : parabole tournée vers le haut si $a > 0$ , vers le bas si $a < 0$ .

Difficulté croissante de 1 à 4

Exercices aujourd'hui0 / 3

Prêt à t'entraîner ?

Génère un exercice personnalisé sur cette méthode et entraîne-toi avec la correction IA.