Comment résoudre un problème d’optimisation ?

En modélisant par une fonction, dérivant et cherchant l’extremum

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On dispose de $20$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur. Quelles dimensions maximisent l’aire ?

La méthode

1
Je définis la variable et j’exprime la grandeur à optimiser comme une fonction $f(x)$ , en déterminant l’intervalle d’étude.
2
Je calcule $f'(x)$ et je résous $f'(x) = 0$ .
3
J’étudie le signe de $f'$ pour déterminer les variations de $f$ et identifier l’extremum.
4
Je calcule la valeur optimale $f(x_0)$ et je réponds au problème posé dans le contexte.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

On dispose de $20$ m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire contre un mur. Quelles dimensions maximisent l’aire ?

1

Soit $x$ la longueur perpendiculaire au mur. Le périmètre libre est $2x + L = 20$ , donc $L = 20 - 2x$ . Aire : $f(x) = x(20 - 2x) = 20x - 2x^2$ , pour $x \in ]0\,;10[$ .

2

$f'(x) = 20 - 4x$ . $f'(x) = 0 \iff x = 5$ .

3

$f'(x) > 0$ sur $]0\,;5[$ et $f'(x) < 0$ sur $]5\,;10[$ : maximum en $x = 5$ .

4

$f(5) = 100 - 50 = 50$ . L’aire maximale est $50$ m² pour $x = 5$ m et $L = 10$ m.

L’aire maximale est $50$ m², obtenue pour des dimensions $5$ m $\times$ $10$ m.

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