Comment déterminer les extremums d’une fonction ?

En cherchant les points où $f'$ s’annule en changeant de signe

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les extremums de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je calcule $f'(x)$ et je résous $f'(x) = 0$ .
2
Pour chaque solution $a$ , j’étudie le signe de $f'$ juste avant et juste après $a$ .
3
Si $f'$ passe de $+$ à $-$ , $f(a)$ est un maximum local ; si $f'$ passe de $-$ à $+$ , $f(a)$ est un minimum local. Si $f'$ ne change pas de signe, pas d’extremum.
4
Je calcule $f(a)$ pour donner la valeur de l’extremum.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Déterminer les extremums de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ . $f'(x) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 2$ .

2

Pour $x = 0$ : $f'(-1) = 9 > 0$ et $f'(1) = -3 < 0$ . Pour $x = 2$ : $f'(1) = -3 < 0$ et $f'(3) = 9 > 0$ .

3

En $x = 0$ , $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local. En $x = 2$ , $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum local.

4

$f(0) = 4$ et $f(2) = 8 - 12 + 4 = 0$ .

$f$ admet un maximum local $4$ en $x = 0$ et un minimum local $0$ en $x = 2$ .

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Comment déterminer les extremums d’une fonction ?

En cherchant les points où f′f'f′ s’annule en changeant de signe

Pour comprendre, passons aux exercices.

En cherchant les points où $f'$ s’annule en changeant de signe