Comment étudier les variations d’une fonction à l’aide de sa dérivée ?

En calculant $f'(x)$ , étudiant son signe et dressant le tableau de variations

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Je calcule $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation.
2
Je résous $f'(x) = 0$ pour trouver les valeurs où la dérivée s’annule.
3
J’étudie le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle délimité par ces valeurs.
4
Je dresse le tableau de variations en indiquant les flèches montantes ( $f' > 0$ ) et descendantes ( $f' < 0$ ), et je calcule les valeurs de $f$ aux bornes.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Étudier les variations de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$f'(x) = 3x^2 - 3$ .

2

$f'(x) = 0 \iff 3x^2 - 3 = 0 \iff x^2 = 1 \iff x = -1$ ou $x = 1$ .

3

$f'(x) = 3(x-1)(x+1)$ . On a $f'(x) > 0$ sur $]-\infty\,;-1[$ et $]1\,;+\infty[$ , $f'(x) < 0$ sur $]-1\,;1[$ .

4

$f(-1) = 3$ , $f(1) = -1$ . Donc $f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ , décroissante sur $[-1\,;1]$ , croissante sur $[1\,;+\infty[$ .

$f$ est croissante sur $]-\infty\,;-1]$ , décroissante sur $[-1\,;1]$ , croissante sur $[1\,;+\infty[$ .

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Pour comprendre, passons aux exercices.

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