Résoudre une équation $\cos(x) = \cos(a)$

Résoudre une équation de la forme $\cos(x) = c$ en trouvant toutes les solutions.

L'objectif

Résoudre une équation de la forme $\cos(x) = c$ en trouvant toutes les solutions.

Le principe

$\cos(x) = \cos(a)$ si et seulement si $x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

La méthode

1
Je mets l'équation sous la forme $\cos(x) = \cos(a)$ en identifiant $a \in [0\,;\pi]$ tel que $\cos(a) = c$ .
2
J'écris les deux familles de solutions : $x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
3
Si l'énoncé demande les solutions sur un intervalle donné, je détermine les valeurs de $k$ qui conviennent.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi[$ .

Étape 1 —

Je mets l'équation sous la forme

\cos(x) = \cos(a)

en identifiant

a \in [0\,;\pi]

tel que

\cos(a) = c

$\cos(a) = -\dfrac{1}{2}$ avec $a \in [0\,;\pi]$ . On sait que $\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$ , donc $\cos\left(\pi - \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$ , soit $a = \dfrac{2\pi}{3}$ .

Étape 2 —

J'écris les deux familles de solutions :

x = a + 2k\pi

x = -a + 2k\pi

k \in \mathbb{Z}

$x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Étape 3 —

Si l'énoncé demande les solutions sur un intervalle donné, je détermine les valeurs de

k

qui conviennent.

Sur $[0\,;2\pi[$ : $k = 0$ donne $x = \dfrac{2\pi}{3}$ ; pour la 2e famille, $k = 1$ donne $x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{4\pi}{3}$ .

Sur $[0\,;2\pi[$ , $\mathcal{S} = \left\{\dfrac{2\pi}{3}\,;\dfrac{4\pi}{3}\right\}$ .

Application guidée

Résoudre $\cos(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Résoudre $\cos(x) = -1$ sur $[-\pi\,;\pi]$ .

Application autonome 2

Résoudre $\cos(x) = 0$ sur $[-\pi\,;\pi]$ .

Application autonome 3

Résoudre $\cos(2x) = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;\pi]$ .

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Résoudre une équation cos⁡(x)=cos⁡(a)\cos(x) = \cos(a)cos(x)=cos(a)

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Résoudre une équation $\cos(x) = \cos(a)$