Comment modéliser une situation par une suite arithmétique ou géométrique ?

En identifiant un accroissement constant ou un taux d'évolution constant

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un capital de $1\,000$ euros est placé à un taux annuel de $5\,\%$ . Exprimer le capital $u_n$ au bout de $n$ années.

La méthode

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Identifier la grandeur qui varie et définir $u_n$ (par exemple, le capital au bout de $n$ années, la population à l'instant $n$ , etc.). Préciser $u_0$ .
2
Déterminer le type d'évolution : si on ajoute (ou retranche) toujours la même quantité $r$ , c'est arithmétique ( $u_{n+1} = u_n + r$ ) ; si on multiplie toujours par le même coefficient $q$ (par exemple $q = 1 + t$ pour un taux $t$ ), c'est géométrique ( $u_{n+1} = q \times u_n$ ).
3
Écrire la formule explicite ( $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_0 \times q^n$ ) et répondre à la question posée.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Un capital de $1\,000$ euros est placé à un taux annuel de $5\,\%$ . Exprimer le capital $u_n$ au bout de $n$ années.

1

On pose $u_n$ le capital au bout de $n$ années. $u_0 = 1\,000$ .

2

Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}05$ (taux constant). Donc $u_{n+1} = 1{,}05 \times u_n$ : c'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}05$ .

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$u_n = 1\,000 \times 1{,}05^n$ .

$u_n = 1\,000 \times 1{,}05^n$

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Comment reconnaître une suite géométrique et déterminer ses paramètres ?