En appliquant la formule $u_n = u_0 \times q^n$

Calculer la valeur de $u_n$ pour un rang $n$ donné, ou exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

L'objectif

Calculer la valeur de $u_n$ pour un rang $n$ donné, ou exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

Le principe

Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$ , alors $u_n = u_0 \times q^n$ ; plus généralement, $u_n = u_p \times q^{n-p}$ pour tout rang $p$ .

La méthode

1
Identifier le premier terme $u_0$ (ou $u_p$ ) et la raison $q$ de la suite géométrique.
2
Appliquer la formule $u_n = u_0 \times q^n$ (ou $u_n = u_p \times q^{n-p}$ si le premier terme connu est $u_p$ ).
3
Calculer la puissance $q^n$ et simplifier pour obtenir la valeur demandée.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

$(u_n)$ est géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $u_0 = 2$ . Calculer $u_5$ .

Étape 1 —

Identifier le premier terme

u_0

(ou

u_p

) et la raison

q

de la suite géométrique.

On a $u_0 = 2$ et $q = 3$ .

Étape 2 —

Appliquer la formule

u_n = u_0 \times q^n

(ou

u_n = u_p \times q^{n-p}

si le premier terme connu est

u_p

On applique $u_5 = u_0 \times q^5 = 2 \times 3^5$ .

Étape 3 —

Calculer la puissance

q^n

et simplifier pour obtenir la valeur demandée.

On calcule $3^5 = 243$ , donc $u_5 = 2 \times 243 = 486$ .

$u_5 = 486$

Application guidée

$(u_n)$ est géométrique de raison $q = 0{,}5$ et $u_2 = 12$ . Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

Application autonome 1

$(v_n)$ est géométrique de raison $q = -2$ et de premier terme $v_0 = 1$ . Calculer $v_4$ et $v_5$ .

Application autonome 2

Une population de bactéries triple chaque heure. Au départ, il y a $200$ bactéries. On note $b_n$ le nombre de bactéries après $n$ heures. Exprimer $b_n$ en fonction de $n$ et calculer $b_6$ .

Application autonome 3

$(w_n)$ est géométrique avec $w_3 = 54$ et $w_5 = 486$ . Déterminer la raison $q$ et $w_0$ , puis calculer $w_8$ .

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En appliquant la formule un=u0×qnu_n = u_0 \times q^nun​=u0​×qn

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En appliquant la formule $u_n = u_0 \times q^n$