En calculant le discriminant et en appliquant les formules

Résoudre une équation $ax^2 + bx + c = 0$ en utilisant le discriminant.

L'objectif

Résoudre une équation $ax^2 + bx + c = 0$ en utilisant le discriminant.

Le principe

Le signe de $\Delta = b^2 - 4ac$ détermine le nombre de solutions : deux si $\Delta > 0$ , une (double) si $\Delta = 0$ , aucune si $\Delta < 0$ .

La méthode

1
Identifier les coefficients $a$ , $b$ et $c$ de l'équation mise sous forme $ax^2 + bx + c = 0$ .
2
Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
3
Conclure selon le signe de $\Delta$ : si $\Delta > 0$ , deux solutions $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ; si $\Delta = 0$ , une solution double $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$ ; si $\Delta < 0$ , aucune solution réelle.

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Exercice d'exemple

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Étape 1 —

Identifier les coefficients

a

b

c

de l'équation mise sous forme

ax^2 + bx + c = 0

On identifie $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .

Étape 2 —

Calculer le discriminant

\Delta = b^2 - 4ac

$\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$ .

Étape 3 —

Conclure selon le signe de

\Delta

: si

\Delta > 0

, deux solutions

x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

; si

\Delta = 0

, une solution double

x_0 = \dfrac{-b}{2a}

; si

\Delta < 0

, aucune solution réelle.

$\Delta = 1 > 0$ donc deux solutions : $x_1 = \dfrac{5 - 1}{2} = 2$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{2} = 3$ .

$S = \{2\,; 3\}$

Application guidée

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $4x^2 - 12x + 9 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2x^2 + x + 1 = 0$ .

Application autonome 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $3x^2 - 2x - 5 = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $-x^2 + 3x + 10 = 0$ .

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