En effectuant un changement de variable

Résoudre une équation de degré supérieur ou contenant des expressions composées en se ramenant au second degré.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

L'objectif

Résoudre une équation de degré supérieur ou contenant des expressions composées en se ramenant au second degré.

Le principe

On pose $X = g(x)$ pour transformer l'équation en $aX^2 + bX + c = 0$ , puis on revient à la variable initiale.

La méthode

1
Identifier le changement de variable adapté ( $X = x^2$ , $X = \mathrm{e}^x$ , $X = \sqrt{x}$ , etc.) pour se ramener à une équation du second degré en $X$ .
2
Résoudre l'équation du second degré en $X$ (par le discriminant ou factorisation).
Comment résoudre une équation du second degré ?Voir
3
Revenir à la variable $x$ en résolvant $g(x) = X_i$ pour chaque solution $X_i$ trouvée, en vérifiant la compatibilité avec le domaine.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Résoudre $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

Étape 1 —

Identifier le changement de variable adapté (

X = x^2

X = \mathrm{e}^x

X = \sqrt{x}

, etc.) pour se ramener à une équation du second degré en

X

On pose $X = x^2$ ( $X \geq 0$ ). L'équation devient $X^2 - 5X + 4 = 0$ .

Étape 2 —

Résoudre l'équation du second degré en

X

(par le discriminant ou factorisation).

$\Delta = 25 - 16 = 9$ . $X_1 = \dfrac{5-3}{2} = 1$ et $X_2 = \dfrac{5+3}{2} = 4$ . Les deux solutions sont positives.

Étape 3 —

Revenir à la variable

x

en résolvant

g(x) = X_i

pour chaque solution

X_i

trouvée, en vérifiant la compatibilité avec le domaine.

$x^2 = 1$ donne $x = \pm 1$ . $x^2 = 4$ donne $x = \pm 2$ .

$S = \{-2\,; -1\,; 1\,; 2\}$

Application guidée

Résoudre $x^4 - 2x^2 - 8 = 0$ .

Application autonome 1

Résoudre $x - 3\sqrt{x} + 2 = 0$ pour $x \geq 0$ .

Application autonome 2

Résoudre $x^4 - 10x^2 + 9 = 0$ .

Application autonome 3

Résoudre $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ .

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