En utilisant la forme développée et un système d'équations

Déterminer un polynôme du second degré à partir de trois conditions (points de la courbe, tangente, etc.).

L'objectif

Déterminer un polynôme du second degré à partir de trois conditions (points de la courbe, tangente, etc.).

Le principe

En posant $P(x) = ax^2 + bx + c$ , chaque condition fournit une équation ; on résout le système $3 \times 3$ obtenu.

La méthode

1
Poser $P(x) = ax^2 + bx + c$ et traduire chaque condition en une équation liant $a$ , $b$ , $c$ .
2
Résoudre le système de trois équations à trois inconnues (substitution ou combinaison linéaire).
3
Écrire l'expression finale de $P(x)$ avec les valeurs trouvées.

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Exercice d'exemple

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ tel que $P(0) = 1$ , $P(1) = 0$ et $P(-1) = 4$ .

Étape 1 —

Poser

P(x) = ax^2 + bx + c

et traduire chaque condition en une équation liant

a

b

c

On pose $P(x) = ax^2 + bx + c$ . $P(0) = c = 1$ . $P(1) = a + b + 1 = 0$ . $P(-1) = a - b + 1 = 4$ .

Étape 2 —

Résoudre le système de trois équations à trois inconnues (substitution ou combinaison linéaire).

De $a+b = -1$ et $a - b = 3$ , on obtient $2a = 2$ soit $a = 1$ et $b = -2$ .

Étape 3 —

Écrire l'expression finale de

P(x)

avec les valeurs trouvées.

$P(x) = x^2 - 2x + 1$ .

$P(x) = x^2 - 2x + 1$

Application guidée

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ passant par les points $(0\,; 3)$ , $(1\,; 2)$ et $(2\,; 5)$ .

Application autonome 1

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ tel que $P(-2) = 0$ , $P(1) = 0$ et $P(3) = 10$ .

Application autonome 2

Déterminer le polynôme $P$ de degré $2$ tel que $P(1) = 0$ , $P(3) = 8$ et $P(0) = -3$ .

Application autonome 3

Une parabole a pour sommet $S(2\,; -1)$ et passe par le point $A(0\,; 3)$ . Déterminer son équation.

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